Firmanty M - Skrypt do wykładów i ćwiczeń z matematyki z rozwiązaniami. Rrcz, Fourier, Laplace.pdf

(1335 KB) Pobierz
SKRYPT
DO
WYKŁADÓW I ĆWICZEŃ
Z
MATEMATYKI
DLA
KIERUNKU BUDOWNICTWO
DRUGI STOPIEŃ
Małgorzata Firmanty
1
1. Równania różniczkowe cząstkowe liniowe
i quasi – liniowe rzędu pierwszego
Niech P(x, y, z) , Q(x, y, z) , R(x, y, z) i f(x, y, z)
1
będą danymi funkcjami klasy
C
w pewnym
obszarze przestrzennym D.
Definicja 1.1
Równanie :
1
u
u
u
P
(
x
,
y
,
z
)
Q
(
x
,
y
,
z
)
R
(
x
,
y
,
z
)
�½
f
(
x
,
y
,
z
)
x
y
z
nazywamy
równaniem różniczkowym cząstkowym
liniowym rzędu pierwszego
z funkcją niewiadomą
u
�½
u
(
x
,
y
,
z
)
.
Jeżeli
f
(
x
,
y
,
z
)
0
w obszarze D ,
to równanie
1
przyjmuje postać :
u
u
u
2
P
(
x
,
y
,
z
)
Q
(
x
,
y
,
z
)
R
(
x
,
y
,
z
)
�½
0
x
y
z
Równanie
2
nazywamy
równaniem jednorodnym.
2
Definicja 1.2
Układ równań różniczkowych zwyczajnych
dx
dy
dz
�½
�½
P
(
x
,
y
,
z
)
Q
(
x
,
y
,
z
)
R
(
x
,
y
,
z
)
nazywamy
równaniem różniczkowym
charakterystyk
równania
2
.
Twierdzenie 1.1
1
(
x
,
y
,
z
)
i
2
(
x
,
y
,
z
)
klasy
C
1
w
Jeżeli funkcje
obszarze D są niezależnymi całkami pierwszymi
układu
, to funkcja
u
�½
F
1
x
,
y
,
z
,
2
x
,
y
,
z
F
1
,
2
oznacza dowolną funkcję klasy
C
1
gdzie
w pewnym obszarze płaskim, jest całką ogólną
równania
2
w dostatecznie małym otoczeniu
dowolnego punktu obszaru D
Zadanie 1.1
Znajdź całkę ogólną równania :
u
u
2
u
x
y
z y
�½
0
x
y
z
.
3
Rozwiązanie
Równanie różniczkowe charakterystyk ma postać :
dx dy
dz
�½
�½
2
x
y z y
.
(1)
dx dy
dz
�½
�½
2
x
y z y
x
ln
�½
ln
C
y
x
�½
C
1
.
y
dx dy
�½
x
y
x
�½
C
y
dx
dy
�½
x
y
x
�½ 
C
y
ln
x
�½
ln
y
ln
C
ln
x
ln
y
�½
ln
C
x
Całka pierwsza :
1
(
x
,
y
,
z
)
�½
y
4
(2)
dx dy
dz
�½
�½
2
x
y z y
dy
dz
dz
�½
2
dy
�½
2
y z y
z
dz
1
dy
�½
2
y
�½
C
2
z
z
1
y
 �½
C
2
.
z
1
Całka pierwsza :
2
(
x
,
y
,
z
)
�½
y
z
.
Zatem funkcja :
x
1
u
�½
F
,
y
 
y
z
F
1
,
2
oznacza dowolną funkcję klasy
C
1
gdzie
w pewnym obszarze płaskim,
jest całką ogólną równania
.
Niech P(x, y, u) , Q(x, y, u) i R(x, y, u) będą danymi
C
1
w pewnym obszarze
funkcjami klasy
przestrzennym D.

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika:

Zgłoś jeśli naruszono regulamin