Podręcznik dla nauczyciela
dr inż. Teodor Buchner
Wykład pokazuje uniwersalność fizycznego pojęcia faza. W ramach wprowadzenia zadane jest pytanie o sposoby pomiaru czasu, który jest wielkością narastającą liniowo. Odpowiedź jest taka że czas można mierzyć łatwo za pomocą cykli – zjawisk cyklicznie powtarzających się takich jak pory dnia czy pory roku. W ten sposób zmianę czasu mierzymy przez zmianę kąta i faza pojawia się tu naturalnie jako „czas mierzony w stopniach”. Tu wprowadzone są podstawy trygonometrii, niezbędne do zrozumienia dalszego ciągu wykładu.
Kolejny punkt programu ma za zadanie pokazać na elementarnym przykładzie zupełnie nieelementarny wynik z dziedziny analizy fazy: w prostym zadaniu o rybaku który płynie po rzece analizujemy w jakim kierunku chciał płynąć rybak ( i w tę stronę wiosłuje) a w jakim kierunku płynie. Rozwiązanie, uzyskane przy pomocy elementarnego rozkładania i sumowania składowych kartezjańskich prędkości, można przedstawić jako nową fazę w funkcji starej fazy. Otóż funkcja ta przy pewnej wartości parametru kontrolnego jakim jest stosunek prędkości rybaka i nurtu rzeki wykazuje nagłą zmianę zachowania – tzw. bifurkację – która z grubsza polega na tym że poniżej wartości krytycznej parametru rybak płynie gdzie chce a powyżej – płynie gdzie chce rzeka. Matematycznie jest to ciekawe ponieważ dzieje się to w funkcji ciągłego parametru – jednej liczby rzeczywistej zmieniającej się od zera do nieskończoności. Pokazany jest obliczony numerycznie wykres tej funkcji, na którym widzimy na poziomych osiach: argument funkcji oraz wartość parametru, zaś na pionowej osi wartość funkcji. Otóż przy pewnej wartości parametru na wykresie funkcji pojawia się nieciągłość – skok. Powoduje on tyle że w ε-otoczeniu pewnej starej fazy znajdują się wszystkie możliwe wartości nowej fazy, co oznacza że kierunek który przybierze rybak jest w zasadzie nieokreślony. Jest to pierwsze zetknięcie z tzw. osobliwością fazy: punktem geometrycznym w otoczeniu którego faza może przybierać wszystkie możliwe wartości.
Następnym przykładem osobliwości fazy jest czas lokalny: na biegunie łączą się wszystkie strefy czasowe więc są tam jednocześnie wszystkie możliwe godziny.
Kolejnym przykładem osobliwości fazy jest twierdzenie o czesaniu jeża, opisane dokładniej w słowniczku pojęć pod hasłem pole wektorowe: mamy na głowie co najmniej jeden włos którego nie da się zaczesać na bok bo nie wiadomo na który bok należałoby go uczesać.
Ostatnim i najważniejszym przykładem, podsumowującym w zasadzie cały wykład jest pobudzenie elektryczne mięśnia sercowego, wyjaśnione poniżej w słowniczku. Arytmia jest związana z pojawieniem się fali spiralnej (por. hasło Arytmia w słowniczku), której czubek stanowi osobliwość fazy. Jedną z technik terapeutycznych stosowanych w kardiologii jest ablacja, która polega na wypaleniu fragmentu tkanki, którego obecność jest przyczyną arytmii. Wkład fizyków w kardiologię polega na tym, że pomagamy za pomocą rozmaitych metod w lokalizowaniu wierzchołka fali spiralnej lub innych ognisk arytmii, co pozwala na skrócenie procedury ablacji i zwiększenie prawdopodobieństwa pomyślnego rezultatu zabiegu.
Ambicją wykładu jest pokazanie jak za pomocą uniwersalnych pojęć fizycznych takich jak pojęcie fazy można opisywać szeroką klasę zagadnień z różnych dziedzin, co opisane jest poniżej, w rozdziale „Opis ujęcia holistycznego, Powiązania z innymi dziedzinami nauki”. Pokazujemy także w jaki sposób fizycy współpracują z kardiologami.
Słownik kluczowych pojęć
Bifurkacja
Bifurkacja to jakościowa zmiana zachowania układu dynamicznego. Przykładem bifurkacji jest na przykład zjawisko flatter – występujące po przekroczeniu prędkości krytycznej drgania skrzydeł samolotu, które zanim zostało zrozumiane, bywało przyczyną wypadków lotniczych. Innym przykładem może być globalna zmiana klimatu: np. postulowana przez specjalistów możliwość odwrócenia kierunku Golfsztromu.
Faza
Pojęcie fazy wprowadzone jest na gruncie fizyki i matematyki, zaś używane jest w wielu naukach, w szczególności w elektronice. Faza jest to taka własność opisująca zmienny w czasie stan układu, która zmienia się cyklicznie (powtarzalnie), choć niekoniecznie okresowo. Przykładem fazy jest na przykład kąt w ruchu po okręgu albo kąt jaki tworzy huśtawka z kierunkiem pionowym. Matematycznie faza ma formę pewnej funkcji czasu φ(t). Jeśli rozpatrujemy pewien ośrodek, taki jak na przykład powierzchnia mięśnia sercowego albo powierzchnia Ziemi, faza może być także funkcją zmiennych przestrzennych opisujących ośrodek (zmienne kartezjańskie (x, y) lub jak na Ziemi współrzędne geograficzne). Dla każdego punktu ośrodka można w danym momencie określić jego fazę, więc formalnie jest to funkcja zmiennych przestrzennych i czasu φ (x, y, t).
Pojęcie fazy ma kilka znaczeń: jest także używane w fizyce w innym znaczeniu, jako rozszerzenie pojęcia „stan skupienia”. Przemiany stanu skupienia oraz inne zmiany własności badanego ośrodka zachodzące przy pewnych wartościach np. temperatury i ciśnienia określa się w fizyce jako przemiany fazowe. To znaczenie nie ma nic wspólnego z fazą w znaczeniu rozpatrywanym w niniejszym wykładzie. Pojęcie fazy pojawia się także w teorii oscylatora harmonicznego, do opisu warunku początkowego funkcji harmonicznej. W dowolnej chwili czasu możemy określić fazę takiego oscylatora – to znaczenie tożsame z rozpatrywanym tutaj.
Faza podobnie jak kąt ma charakter okresowy: faza 0 równa jest fazie 2π Możemy używać fazy zredukowanej do przedziału [0,2π] albo fazy która narasta do nieskończoności.
Osobliwość fazy
Niekiedy w badanym układzie występuje punkt lub punkty, w których nie da się określić fazy. Takie punkty określamy jako osobliwości fazy. Przykładem osobliwości fazy są bieguny geograficzne Ziemi: na biegunach zbiegają się strefy czasowe i nie da się określić czasu lokalnego. W ε-otoczeniu osobliwości fazy faza może przybierać wszystkie możliwe wartości.
Pole skalarne
Pole skalarne występuje gdy w każdym z punktów przestrzeni można zdefiniować wielkość skalarną. Przykładem pola skalarnego jest pole temperatur. Jeżeli popatrzymy na południki Ziemi znad bieguna północnego zobaczymy je w postaci koncentrycznie zbiegających się promieni. Jeśli popatrzymy na granice stref czasowych zobaczymy także promienie; pomiędzy dwoma sąsiednimi promieniami jest ta sama wartość czasu lokalnego – fazy. Czas lokalny na powierzchni Ziemi opisany jest polem skalarnym, wartości tego pola zmieniają się skokowo na granicy stref czasowych. Faza względem czasu słonecznego zmienia się w sposób ciągły wszędzie z wyjątkiem linii zmiany daty.
Pole wektorowe
Pole wektorowe występuje gdy w każdym z punktów przestrzeni można określić wektor mający kierunek zwrot i wartość. Polem wektorowym jest na przykład pole prędkości wody w rzece: w każdym punkcie cząsteczki wody mają jakiś wektor prędkości. Jeżeli popatrzymy na południki Ziemi znad bieguna północnego zobaczymy je w postaci koncentrycznie zbiegających się promieni. Taki sam obraz geometryczny mają linie sił źródłowego pola wektorowego – na przykład pola elektrycznego. Jeśli źródłem pola elektrycznego jest ładunek punktowy leżący w środku układu współrzędnych, w punkcie tym występuje także osobliwość pola wektorowego ponieważ w punkcie 0 zbiegają się wszystkie linie sił pola elektrycznego. Ze względu na potencjał występuje tam również osobliwość algebraiczna: potencjał w punkcie 0 jest nieskończony. Jeśli popatrzymy z góry na powierzchnię głowy zobaczymy włosy rosnące na boki. Z każdym włosem można związać kierunek i zwrot jaki tworzy z powierzchnią głowy (łatwiej będzie jeśli rozpatrzymy rzut tego kierunku na powierzchnię głowy, wtedy będzie to problem w istocie dwuwymiarowy ponieważ wektory leżą na powierzchni). Jak widać na czubku głowy tak zdefiniowane pole wektorowe ma również osobliwość. Tego dotyczy wzmiankowane na wykładzie twierdzenie o czesaniu jeża, które nie jest li i jedynie dowcipem matematycznym, ale ilustracją twierdzenia o punkcie stałym, opisanego na przykład w znakomitej książce „Kalejdoskop matematyczny” Steinhausa [5], w podręcznikach topologii oraz w internecie [3,4,6].
Pobudzenie elektryczne mięśnia sercowego
Aby mięsień sercowy kurczył się jest on pobudzany elektrycznie ze specjalnej struktury, znajdującej się w ścianie prawego przedsionka. Struktura ta to tzw. węzeł zatokowy, który jest samowzbudny: samorzutnie rośnie w nim potencjał czynnościowy (napięcie pomiędzy wnętrzem i zewnętrzem komórki, wynikające z różnicy logarytmów stężeń jonów na mocy reguły Nernsta). Jeśli potencjał czynnościowy przekroczy krytyczną wartość (poziom otwarcia kanałów sodowych) komórki otaczające węzeł (które są z nim sprzężone elektrycznie – tzn. możliwy jest przepływ jonów z jedne j komórki do drugiej) wchodzą w stan aktywny. Fala aktywności rozchodzi się dalej pomiędzy komórkami powodując ich skurcz. W warunkach fizjologicznych (zdrowych) kolejne fale aktywności (fronty falowe tych fal) mają kształt okręgu (czy raczej elipsy ze względu na różne prędkości przewodzenia wzdłuż i w poprzek włókien mięśniowych), które rozchodzą się po nieregularnej powierzchni przedsionka (grubość mięśnia to 3-5 mm więc efekty przestrzenne można pominąć). Można zdefiniować fazę w ten sposób że tam gdzie występuje maksimum potencjału czynnościowego, faza jest równa zero i narasta do 2π, którą to wartość osiąga przy następnym maksimum potencjału czynnościowego.
Okres refrakcji
Czas po przejściu potencjału czynnościowego przez tkankę mięśnia sercowego przez który tkanka jest w stanie nieprzewodzącym.
Arytmia
Pobudzenie elektryczne mięśnia sercowego, które nie pochodzi z fizjologicznego rozrusznika serca: węzła zatokowego. Jedną z form arytmii jest tzw. częstoskurcz, który inicjuje się na przykład w taki sposób, że front falowy zostaje przerwany na przeszkodzie nieprzewodzącej, takiej jak blizna pozawałowa lub ujście żyły do przedsionka, a następnie jedna połowa frontu falowego propaguje dużo wolniej niż druga i trafia na tkankę po zakończeniu okresu refrakcji. W wyniku tego powstaje fala spiralna. Jej czubek stanowi osobliwość fazy.
Opis ujęcia holistycznego. Powiązania z innymi dziedzinami nauki
Wykład poświęcony jest zrozumieniu pojęcia fazy, które używane jest do opisu wszelkich zjawisk cyklicznych w przyrodzie. Pojęcia fazy używa się w naukach przyrodniczych i w technice, a szczególnie w geografii, biologii (istnieje wydzielony kierunek badań: chronobiologia), chemii, fizyce, socjologii, ekonofizyce i ekonomii, elektronice i elektrotechnice. W chemii faza występuje w reakcjach cyklicznych takich jak np. reakcja Biełousowa Żabotyńskiego, W biologii używa się go do opisu wszelkich cykli (na przykład cykl dobowy) oraz wszelkich zjawisk oscylacyjnych w organizmach żywych, takich jak na przykład fale potencjału czynnościowego przechodzące przez tkankę mięśnia sercowego. W biologii za pomocą fazy opisuje się także zjawiska kolektywne, na przykład obserwowaną na rzece Mekong synchronizację błyskania świetlików. W socjologii opisuje się synchronizację oklasków. Wykład pokazuje uniwersalną rolę fizyki, która dostarcza wielu naukom uniwersalnego języka opisu zjawisk. Używanie tego uniwersalnego języka daje efekt synergii: w fizyce teoretycznej często zdarza się że w celu rozwiązania konkretnego zagadnienia korzysta się z wyników z całkiem innych dziedzin. Gdyby każda z dziedzin miała swój język byłoby to niemożliwe. W ten sposób pokazana jest integralna rola fizyki w metodologii nauk przyrodniczych.
Rys. 1
Reakcja Biełousowa-Żabotyńskiego. Kolor roztworu zależy od stężenia reagentów w tym punkcie. Kolor biały określa położenie frontu falowego (powierzchni stałej fazy) Żółty krzyżyk pokazuje jak fala o większej częstości przestrzennej (jej kolejne maksima są bliżej siebie) „zdobywa teren” kosztem fali ze źródła o niższej częstości: jak widać punkt spotkania fal przesuwa się względem linii łączącej oba źródła.[8]
Przykłady zastosowań, faza w życiu codziennym
W geografii czas słoneczny ma sens fazy. Przypływy i odpływy morza opisuje się przy pomocy fazy fali pływowej: pływy oceaniczne mają kształt fali spiralnej, która krąży wokół punktu stanowiącego osobliwość fazy [7]. Fale spiralne pojawiają się np. na gnijącej gruszce czy w mięśniu sercowym, gdzie stanowią formę arytmii [10].
Rys. 2
Kolonie pleśni na gruszce układają się w falę. Fot: T. Buchner, wszelkie prawa zastrzeżone.
Rys. 3
Fala spiralna w modelu matematycznym mięśnia przedsionka. Kolor czerwony oznacza wysoką wartość potencjału czynnościowego. W tym miejscu następuje skurcz mięśnia. Tak wygląda fala przedsionka podczas arytmii zwanej trzepotaniem przedsionków (dzięki uprzejmości Piotra Podziemskiego, doktoranta na Wydziale Fizyki Politechniki Warszawskiej). Porównaj także [11].
Rys.4
Osobliwości fazy fali pływowej wg [7]. Białe linie to tzw. linie pływowe: łączą ze sobą punkty, w których znajduje się maksimum fali przypływu w konkretnym czasie. Jak widać białe linie zbiegają się w kilku punktach: wokół każdego z tych punktów kręci się fala pływowa. Taki punkt stanowi osobliwość fazy.
Fala skurczu mięśniówki gładkiej macicy podczas porodu jest falą spiralną. W fizjologii człowieka fazy używa się do wszelkich zdarzeń cyklicznych: rytm serca, rytm oddechowy, cykl dobowy, cykl miesięczny, także perystaltyka - fale skurczu jelit, które umożliwiają trawienie, można opisywać za pomocą fazy. Przy pomocy analizy fazy można wyciągać wnioski odnośnie technik obrony przed zjawiskiem „jet lag”, czyli problemami z adaptacją do czasu lokalnego przy lotach na duże odległości na zachód a zwłaszcza na wschód. Synchronizacja błyskania świetlików [9] również jest opisywana za pomocą pojęcia fazy. Sprzężenia wszelkich rytmów, na przykład rytmu serca i oddechu można także opisywać za pomocą dynamiki dwóch faz. Obszerny opis pojęcia fazy oraz różnych układów biologicznych zawiera monografia [1] pozycja nie posiadająca niestety polskiego wydania, czy choćby polskiego odpowiednika. Niektóre z zagadnień opisywane są w książce [2]
Literatura
[1] A.T. Winfree, Geometry of biological time, Springer 2000.
[2] B. Cymborowski, Żywe zegary, PWRiL 1987.
[3] http://en.wikipedia.org/wiki/Brouwer_fixed_point_theorem,
[4] http://en.wikipedia.org/wiki/Hairy_ball_theorem
[5] H. Steinhaus, Kalejdoskop matematyczny, WSiP 1989.
[6] http://matematyka.org/viewtopic.php?f=5&t=1941&p=11843
[7] http://en.wikipedia.org/wiki/Amphidromic_point
[8] http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Bzr_raum.jpg?uselang=pl
[9] http://www.youtube.com/watch?v=bfpI4_8yZlk
[10] http://ep.physoc.org/content/94/5/553.full
[11] http://www.scholarpedia.org/article/Models_of_cardiac_cell
Projekt współfinansowany z Europejskiego Funduszu Społecznego w ramach Programu Operacyjnego Kapitał Ludzki
7
napomoc