fraktale2011(2).pdf

Toru«, 25. 09. 2011

Nazwaprzedmiotu Podstawy matematyczne teorii fraktali

Wykładowca prof. dr hab. Mariusz Lema«czyk

Wymiariformazaj¦¢ 60 godz. wykładu, wykład specjalizacyjny, przed-

miot do wyboru

Wymaganiaegzaminacyjne Egzamin ustny

Wymaganiawst¦pne Zaliczenie podstawowych kursów z analizy mate-

matycznej, wst¦p do teorii miary

Opisprzedmiotu Zasadniczym celem wykładu jest wprowadzenie do teorii

wymiaru Hausdora (i innych pokrewnych wymiarów fraktalnych) ze szcze-

gólnym uwzgl¦dnieniem podstawowych metod szacowania wymiarów i ich za-

stosowa« w teorii iterowanych układów funkcyjnych, teorii liczb i wybranych

zagadnieniach teorii układów dynamicznych (zbiory Julii). Wykład adresowa-

ny jest do doktorantów i studentów starszych lat matematyki i informatyki.

Programwykładu

Wprowadzenie: funkcje na przestrzeniach euklidesowych, miara miara

Lebesgue’a i Hausdora).

Wymiar Hausdora. Podstawowe własno±ci. Obliczanie wymiaru Haus-

dora dla wybranych przykładów.

Wymiar pudełkowy.

Podstawowe metody oblicznia wymiaru Hausdora: metoda miarowa

(miara Frostmana), metoda potencjału i metoda fourierowska.

Produkty kartezja«skie oraz przekroje fraktali.

Iterowane układy funkcyjne (IFS):

– istnienie atraktora

– IFSy w przypadku podobie«stw

– przykłady obliczania wymiarów Hausdora (trójk¡t Sierpi«skiego,

krzywa Kocha).

Ułamki ła«cuchowe i wymiary Hausdora wybranych podzbiorów.

Wymiar Hausdora wykresów funkcji Weierstrassa.

Wymiary fraktalne w wybranych zagadnieniach teorii układów dyna-

micznych (zbiór Julii wielomianów, zbiór Mandelbrotta).

Literatura: K. Falconer, FractalGeometry , second edition, 2003, P. Bil-

lingsley, ErgodicTheoryandInformation , 1978 G. Edgar, ClassicsonFrac-

tals , 1993, K. Falconer, TheGeometryofFractalSets , 1985, K. Falconer,

TechniquesinFractalGeometry , 1997, A. Katok and B. Hasselblat, Intro-

ductiontotheModernTheoryofDynamicalSystems , 1995, B. Mandelbrot,

TheFractalGeometryofNature , 1982, J. Milnor, DynamicsinOneComplex

Variable,IntroductoryLectures , 1999, S. Łojasiewicz, Wst¦pdoteoriifunkcji

rzeczywistych , 1976.