cyf02.pdf
(
262 KB
)
Pobierz
Podró»epoImperiumLiczb
Cz¦±¢02.
CyfryLiczbNaturalnych
Rozdział2
2.Przestawianiecyfr
AndrzejNowicki7grudnia2011,
http://www.mat.uni.torun.pl/~anow
Spistre±ci
2Przestawianiecyfr
21
2.1
Odwracanie porz¡dku cyfr
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
21
2.2
Liczby palindromiczne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
24
2.3
Liczby palindromiczne i ci¡gi arytmetyczne . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
27
2.4
Liczby Lychrela
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
2.5
Przestawianie pierwszej cyfry na koniec . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
2.6
Przestawianie ostatniej cyfry na pocz¡tek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
35
2.7
Przestawienia cykliczne i podzielno±¢
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
42
2.8
Permutacje cyfr
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
43
Wszystkie ksi¡»ki z serii ”Podró»e po Imperium Liczb” napisano w edytorze L
A
T
E
X.
Spisy tre±ci tych ksi¡»ek oraz pewne wybrane rozdziały mo»a znale¹¢ na internetowej stronie
autora:
http://www-users.mat.uni.torun.pl/~anow
.
2Przestawianiecyfr
oooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo
2.1Odwracanieporz¡dkucyfr
oooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo
Je±li
n
jest liczb¡ naturaln¡, to przez
n
0
oznaczamy liczb¦ naturaln¡, któr¡ otrzymujemy
odwracaj¡c porz¡dek cyfr liczby
n
. Mówi¢ b¦dziemy, »e
n
0
jest
lustrzanym odbiciem
liczby
n
.
Przykłady: (12345)
0
= 54321, (4453377)
0
= 7733544.
2.1.1.
Równanie n
= 3
n
0
nie ma rozwi¡za«.
([OM]StPetersburg2002)
.
2.1.2.
Je±li n
0
/n jest liczb¡ całkowit¡, to n
0
/n
= 1
lub
4
lub
9
.
([IMO]Longlist1977,[Djmp]s.418,[ShCY]24)
.
2.1.3.
Znale¹¢ liczb¦ naturaln¡ n tak¡, »e n
0
= 4
n.
([ShCY]24)
.
O.
Najmniejsz¡ tak¡ liczb¡ jest 2178. Liczba naturalna spełnia sformułowany w zadaniu warunek
wtedy i tylko wtedy, gdy jest liczb¡ postaci np.:
21 99 78 000 2178 0 21 9 78 0 2178 000 21 99 78
,
tzn. składa si¦ z dowolnej liczby grup 2178, przy czym:
1. pomi¦dzy zespoły cyfr 21 i 78 mo»e by¢ dopisana dowolna, byleby jednakowa (licz¡c od
pocz¡tku liczby i od jej ko«ca), liczba dziewi¡tek;
2. pomi¦dzy zespoły cyfr 2178 z dopisanymi dziewi¡tkami mo»e by¢ dopisana dowolna, byleby
jednakowa (licz¡c od pocz¡tku liczby i od jej ko«ca), liczba zer. (Porównaj 2.1.5).
2.1.4.
Znale¹¢ liczb¦ naturaln¡ n tak¡, »e n
0
= 9
n.
([IMO]Longlist1977,[Djmp]s.117(418),[ShCY]24)
.
D.
Takimi liczbami s¡ na przykład: 1089
,
10989
,
109989
,
1099989
,
···
.
2.1.5.
Opisa¢ wszystkie liczby naturalne n takie, »e
10-
n, n
0
|
n, n/n
0
>
1
.
([DyM]163)
.
U.
Własno±¢ tak¡ maj¡ wszystkie liczby wyst¦puj¡ce w ci¡gach:
8712
,
87912
,
879912
,
8799912
,
···
;
9801
,
98901
,
989901
,
9899901
,
···
.
98999010000980100009899901. Patrz 2.1.3.
Ponadto liczby 8791200871287120087912,
2.1.6.
9
|
n
−
n
0
.
([Mat]4/194948)
.
D.
Oznaczmy przez
s
(
a
) sum¦ wszystkich cyfr liczby naturalnej
a
. Dobrze wiadomo, »e dla ka»dej
liczby naturalnej
a
zachodzi kongruencja
a
s
(
a
) (mod 9). Poniewa»
s
(
n
) =
s
(
n
0
), wi¦c:
n
−
n
0
s
(
n
)
−
s
(
n
0
) = 0 (mod 9), czyli 9
|
n
−
n
0
.
2.1.7.
11
|
n
()
11
|
n
0
.
D.
Je±li
a
=
a
k
a
k
−
1
···
a
2
a
1
a
0
jest liczb¡ naturaln¡, to przez
m
(
a
) oznaczmy
naprzemienn¡ sum¦
cyfr
liczby
a
, to znaczy,
m
(
a
) =
a
0
−
a
1
+
a
2
−
a
3
+
···
. Dobrze wiadomo, »e dla ka»dej liczby naturalnej
a
zachodzi kongruencja
a
m
(
a
) (mod 11). Jest ponadto oczywiste, »e
m
(
n
0
) =
±
m
(
n
). Mamy zatem:
11
|
n
()
11
|
m
(
n
)
()
11
|
m
(
n
0
)
()
11
|
n
0
.
21
22
AndrzejNowicki,Cyfryliczbnaturalnych. 2.Przestawianiecyfr
2.1.8.
Je±li n ma nieparzyst¡ liczb¦ cyfr, to
11
|
n
+
n
0
()
11
|
n.
([KoM]2001.Wynikaz2.1.7)
.
99
|
n
−
n
0
.
(Wynikaz2.1.6idowodu2.1.7)
.
2.1.9.
Je±li n ma nieparzyst¡ liczb¦ cyfr, to
2.1.10.
Naturalna liczba a ma tak¡ własno±¢:
8
n
2
N
a
|
n
=
)
a
|
n
0
. Wykaza¢, »e a
|
99
.
([WaJ]z.93,[Ko02]s.71)
.
D.
Sposób I ([WaJ] s.139). Je±li
m
i
a
s¡ liczbami naturalnymi, to istnieje liczba naturalna
s
taka,
»e pocz¡tkowe cyfry liczby
s
·
a
tworz¡ liczb¦
m
(patrz
??
lub
??
).
Niech
a
b¦dzie liczb¡ naturaln¡ spełniaj¡c¡ podane w tezie warunki. Z powy»szego faktu wynika,
»e istnieje liczba naturalna
n
podzielna przez
a
, której pierwsz¡ cyfr¡ jest 1. Wówczas ostatni¡ cyfr¡
liczby
n
0
jest 1 i
a
dzieli
n
0
. Oznacza to, »e liczba
a
jest wzgl¦dnie pierwsza z 10.
Rozwa»my teraz liczb¦ naturaln¡
u
podzieln¡ przez
a
i rozpoczynaj¡c¡ si¦ cyframi 5
,
0
,
0 (ta-
ka liczba
u
istnieje na mocy wspomnianego wy»ej faktu). Zapiszmy
u
symbolicznie w postaci
u
=
500
u
1
u
2
...u
m
. Wtedy liczba
u
0
=
u
m
u
m
−
1
...u
2
u
1
005 jest podzielna przez
a
. Dopiszmy
m
+ 2 zera z
prawej strony liczby
u
0
. Otrzymana nowa liczba jest te» oczywi±cie podzielna przez
a
. Dodajmy do niej
liczb¦
u
. Otrzymamy wtedy liczb¦
v
=
u
m
u
m
−
1
...u
2
u
1
01000
u
1
u
2
...u
m
, podzieln¡ przez
a
. Przez
a
dzieli si¦ zatem równie» liczba
v
0
=
u
m
u
m
−
1
...u
2
u
1
00010
u
1
u
2
...u
m
oraz liczba
v
−
v
0
= 9900
...
00.
Ale nwd(
a,
10) = 1, wi¦c
a
|
99.
Sposób II ([Ko02] s.71). Najpierw stwierdzamy, »e rozpatrywana liczba
a
jest wzgl¦dnie pierwsza
z 10. Do tego celu wystarczy wykorzysta¢ znany fakt, »e dla dowolnej liczby naturalnej
m
istnieje
liczba naturalna podzielna przez
m
i maj¡ca w swoim zapisie dziesi¦tnym tylko jedynki i zera.
Je±li ju» wiemy, »e nwd(
a,
10) = 1, to wiemy (znany fakt), »e istnieje liczba
u
postaci 11
..
11
podzielna przez
a
. Załó»my, »e tych jedynek jest
k
. Niech
v
= 23
·
u
. Wtedy
v
= 322
...
2219 i
v
0
=
9122
...
223 (jest tutaj (
k
−
2) dwójek). Niech
w
=
v
0
−
2
u
. Wtedy
w
= 8900
...
001,
w
0
= 100
...
0098
oraz
w
0
−
9
u
= 99. Wszystkie rozpatrywane liczby s¡ podzielne przez
a
. W szczególno±ci,
a
|
99.
2.1.11.
Je±li m
2
N
, to oznaczmy przez a
(
m
)
moc zbioru wszystkich liczb całkowitych postaci
n
−
n
0
, gdzie n jest m-cyfrow¡ liczb¡ naturaln¡. Wykaza¢, »e
8
<
1
, gdy m
= 1;
18
·
19
m
−
2
, gdy m jest liczb¡ parzyst¡
;
a
(
m
) =
([Kw]1/198826)
.
:
m
−
3
2
, gdy m jest liczb¡ nieparzyst¡ >
1
.
18
·
19
2.1.12.
Je±li liczba n ma
17
cyfr, to liczba n
+
n
0
ma co najmniej jedn¡ cyfr¦ parzyst¡.
([Kw]7/197142)
.
2.1.13.
Je±li liczba n ma
4
k
+ 1
cyfr, to liczba n
+
n
0
ma co najmniej jedn¡ cyfr¦ parzyst¡.
([Kw]7/197142)
.
U.
Je±li liczba cyfr liczby
n
jest parzysta lub jest postaci 4
k
+ 3, to liczba
n
+
n
0
mo»e mie¢ same
cyfry nieparzyste. Przykłady: 21 + 12 = 33, 726 + 627 = 1353.
2.1.14.
Niech f
(
n
) = (
n
+ 2)
0
dla n
2
N
. Ci¡g
1
, f
(1)
, ff
(1)
, fff
(1)
, ... , czyli ci¡g
1
,
3
,
5
,
7
,
9
,
11
,
31
,
33
,
53
, ...
jest okresowy, o czystym
81
-wyrazowym okresie.
([S59]289)
.
AndrzejNowicki,Cyfryliczbnaturalnych. 2.Przestawianiecyfr
23
2.1.15.
Niech f
(
n
) = (
n
+ 2)
0
dla n
2
N
. Wtedy dla dowolnej liczby naturalnej n
6 100
ci¡g
n, f
(
n
)
, ff
(
n
)
, fff
(
n
)
, ...
jest okresowy, o okresie czystym lub mieszanym, maj¡cym
81
wyrazów
(
i b¦d¡cym permutacj¡
cykliczn¡ okresu dla n
= 1)
.
([S59b])
.
2.1.16.
Niech g
(
n
) = (
n
+ 5)
0
dla n
2
N
. Wtedy ci¡g
1
, g
(1)
, gg
(1)
, ggg
(1)
, ... czyli ci¡g
1
,
6
,
11
,
61
,
66
,
17
,
22
,
72
,...
jest okresowy, o czystym
207
-wyrazowym okresie.
([S59]289)
.
2.1.17.
Niech h
(
n
) = (
n
+ 10)
0
dla n
2
N
. Wtedy ci¡g
1
, h
(1)
, hh
(1)
, hhh
(1)
, ... czyli ci¡g
1
,
11
,
12
,
22
,
23
,...
nie jest okresowy. Natomiast ci¡g n, h
(
n
)
, hh
(
n
)
, hhh
(
n
)
, ... dla n
= 1011
jest okresowy i
jego okres ma
18
wyrazów.
([S59]289)
.
2.1.18.
Rozpatrzmy ci¡g
(
x
n
)
liczb naturalnych, zdefiniowany wzorami:
x
1
=
a, x
n
+1
=
x
0
n
+
b,
gdzie a,b s¡ danymi liczbami naturalnymi. Je±li liczba b jest pot¦g¡ liczby
2
albo liczby
5
, to
ci¡g
(
x
n
)
jest okresowy.
(B.Rokowska1959,)
.
2.
1.1
9.
W dowolnym systemie numeracji o podstawie q
> 3
istnieje jedyna trzycyfrowa
licz-
ba abc, której przedstawienie w systemie numeracji o podstawie h
=
q
±
1
jest równe cba.
([OM]Austria2003)
.
2.1.20.
Niech n
2
N
. Liczby n
2
(
n
2
+ 2)
2
i n
4
(
n
2
+ 2)
2
w swym zapisie przy podstawie n
2
+ 1
maj¡ te same cyfry, lecz w odwrotnym porz¡dku.
([OM]Szwecja1989,[Pa97])
.
2.1.21.
Istniej¡ liczby kwadratowe postaci n
·
n
0
. Przykłady:
288
·
882 = 504
2
,
528
·
825 =
660
2
,
768
·
867 = 816
2
,
8712
·
2178 = 4356
2
,
98901
·
10989 = 32967
2
.
([Mon]E12431(1977),7(1979))
.
2.1.22.
Dla ka»dej liczby naturalnej n
> 3
istnieje liczba n-cyfrowa a, nie b¦d¡ca kwadratem
i ró»na od a
0
taka, »e liczba a
·
a
0
jest kwadratowa.
([Ko02])
.
D.
Je±li
n
jest nieparzyste, to ka»da liczba
a
postaci
8 = 2
10
s
+1
+ 2
2
a
= 2 0
0
..
.
0
8 0
0
..
.
0
| {z }
s
| {z }
s
spełnia »¡dane warunki. W tym przypadku
2 = 2
2
·
10
s
+1
+ 1
2
a
0
= 8
00
..
.
0
| {z }
s
8
00
..
.
0
| {z }
s
i st¡d
a
·
a
0
=
2(10
s
+1
+ 2)(2
·
10
s
+1
+ 1)
2
.
Je±li
n
jest liczb¡ parzyst¡, to warunki zadania spełniaj¡ liczby postaci
a
= 11(10
s
+ 2)
2
.
W tym przypadku
a
0
= 11(2
·
10
s
+ 2)
2
i st¡d
a
·
a
0
= (11(10
s
+ 1)(2
·
10
s
+ 1))
2
.
Plik z chomika:
xyzgeo
Inne pliki z tego folderu:
pri03.pdf
(156 KB)
pri-toc.pdf
(108 KB)
pel07.pdf
(196 KB)
pel02.pdf
(180 KB)
pel-toc.pdf
(100 KB)
Inne foldery tego chomika:
06-DLOGLI0 Podstawy logiki i teorii mnogości (geminus)
httpalgebra.rezolwenta.eu.orgMaterialy
httpmath.uni.lodz.pl~kowalcr
httpwww.fuw.edu.pl~pmajlect.php
httpwww.math.uni.wroc.pl~newelskidydaktykalogikaBlogikaB.html
Zgłoś jeśli
naruszono regulamin