cyf02.pdf

(262 KB) Pobierz
Podró»epoImperiumLiczb
Cz¦±¢02. CyfryLiczbNaturalnych
Rozdział2
2.Przestawianiecyfr
AndrzejNowicki7grudnia2011, http://www.mat.uni.torun.pl/~anow
Spistre±ci
2Przestawianiecyfr
21
2.1
Odwracanie porz¡dku cyfr
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
21
2.2
Liczby palindromiczne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
24
2.3
Liczby palindromiczne i ci¡gi arytmetyczne . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
27
2.4
Liczby Lychrela
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
2.5
Przestawianie pierwszej cyfry na koniec . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
2.6
Przestawianie ostatniej cyfry na pocz¡tek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
35
2.7
Przestawienia cykliczne i podzielno±¢
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
42
2.8
Permutacje cyfr
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
43
Wszystkie ksi¡»ki z serii ”Podró»e po Imperium Liczb” napisano w edytorze L A T E X.
Spisy tre±ci tych ksi¡»ek oraz pewne wybrane rozdziały mo»a znale¹¢ na internetowej stronie
autora: http://www-users.mat.uni.torun.pl/~anow .
1244564412.007.png 1244564412.008.png
2Przestawianiecyfr
oooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo
2.1Odwracanieporz¡dkucyfr
oooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo
Je±li n jest liczb¡ naturaln¡, to przez n 0 oznaczamy liczb¦ naturaln¡, któr¡ otrzymujemy
odwracaj¡c porz¡dek cyfr liczby n . Mówi¢ b¦dziemy, »e n 0 jest lustrzanym odbiciem liczby n .
Przykłady: (12345) 0 = 54321, (4453377) 0 = 7733544.
2.1.1. Równanie n = 3 n 0 nie ma rozwi¡za«. ([OM]StPetersburg2002) .
2.1.2. Je±li n 0 /n jest liczb¡ całkowit¡, to n 0 /n = 1 lub 4 lub 9 .
([IMO]Longlist1977,[Djmp]s.418,[ShCY]24) .
2.1.3. Znale¹¢ liczb¦ naturaln¡ n tak¡, »e n 0 = 4 n. ([ShCY]24) .
O. Najmniejsz¡ tak¡ liczb¡ jest 2178. Liczba naturalna spełnia sformułowany w zadaniu warunek
wtedy i tylko wtedy, gdy jest liczb¡ postaci np.:
21 99 78 000 2178 0 21 9 78 0 2178 000 21 99 78 ,
tzn. składa si¦ z dowolnej liczby grup 2178, przy czym:
1. pomi¦dzy zespoły cyfr 21 i 78 mo»e by¢ dopisana dowolna, byleby jednakowa (licz¡c od
pocz¡tku liczby i od jej ko«ca), liczba dziewi¡tek;
2. pomi¦dzy zespoły cyfr 2178 z dopisanymi dziewi¡tkami mo»e by¢ dopisana dowolna, byleby
jednakowa (licz¡c od pocz¡tku liczby i od jej ko«ca), liczba zer. (Porównaj 2.1.5).
2.1.4. Znale¹¢ liczb¦ naturaln¡ n tak¡, »e n 0 = 9 n.
([IMO]Longlist1977,[Djmp]s.117(418),[ShCY]24) .
D. Takimi liczbami s¡ na przykład: 1089 , 10989 , 109989 , 1099989 , ··· .
2.1.5. Opisa¢ wszystkie liczby naturalne n takie, »e 10- n, n 0 | n, n/n 0 > 1 . ([DyM]163) .
U. Własno±¢ tak¡ maj¡ wszystkie liczby wyst¦puj¡ce w ci¡gach:
8712 , 87912 , 879912 , 8799912 , ··· ;
9801 , 98901 , 989901 , 9899901 , ··· .
98999010000980100009899901. Patrz 2.1.3.
Ponadto liczby 8791200871287120087912,
2.1.6. 9 | n n 0 . ([Mat]4/194948) .
D. Oznaczmy przez s ( a ) sum¦ wszystkich cyfr liczby naturalnej a . Dobrze wiadomo, »e dla ka»dej
liczby naturalnej a zachodzi kongruencja a s ( a ) (mod 9). Poniewa» s ( n ) = s ( n 0 ), wi¦c: n n 0
s ( n ) s ( n 0 ) = 0 (mod 9), czyli 9 | n n 0 .
2.1.7. 11 | n () 11 | n 0 .
D. Je±li a = a k a k 1 ··· a 2 a 1 a 0 jest liczb¡ naturaln¡, to przez m ( a ) oznaczmy naprzemienn¡ sum¦
cyfr liczby a , to znaczy, m ( a ) = a 0 a 1 + a 2 a 3 + ··· . Dobrze wiadomo, »e dla ka»dej liczby naturalnej
a zachodzi kongruencja a m ( a ) (mod 11). Jest ponadto oczywiste, »e m ( n 0 ) = ± m ( n ). Mamy zatem:
11 | n () 11 | m ( n ) () 11 | m ( n 0 ) () 11 | n 0 .
21
1244564412.009.png 1244564412.010.png 1244564412.001.png
 
22 AndrzejNowicki,Cyfryliczbnaturalnych. 2.Przestawianiecyfr
2.1.8. Je±li n ma nieparzyst¡ liczb¦ cyfr, to 11 | n + n 0 () 11 | n. ([KoM]2001.Wynikaz2.1.7) .
99 | n n 0 . (Wynikaz2.1.6idowodu2.1.7) .
2.1.9. Je±li n ma nieparzyst¡ liczb¦ cyfr, to
2.1.10. Naturalna liczba a ma tak¡ własno±¢: 8 n 2 N a | n = ) a | n 0 . Wykaza¢, »e a | 99 .
([WaJ]z.93,[Ko02]s.71) .
D. Sposób I ([WaJ] s.139). Je±li m i a s¡ liczbami naturalnymi, to istnieje liczba naturalna s taka,
»e pocz¡tkowe cyfry liczby s · a tworz¡ liczb¦ m (patrz ?? lub ?? ).
Niech a b¦dzie liczb¡ naturaln¡ spełniaj¡c¡ podane w tezie warunki. Z powy»szego faktu wynika,
»e istnieje liczba naturalna n podzielna przez a , której pierwsz¡ cyfr¡ jest 1. Wówczas ostatni¡ cyfr¡
liczby n 0 jest 1 i a dzieli n 0 . Oznacza to, »e liczba a jest wzgl¦dnie pierwsza z 10.
Rozwa»my teraz liczb¦ naturaln¡ u podzieln¡ przez a i rozpoczynaj¡c¡ si¦ cyframi 5 , 0 , 0 (ta-
ka liczba u istnieje na mocy wspomnianego wy»ej faktu). Zapiszmy u symbolicznie w postaci u =
500 u 1 u 2 ...u m . Wtedy liczba u 0 = u m u m 1 ...u 2 u 1 005 jest podzielna przez a . Dopiszmy m + 2 zera z
prawej strony liczby u 0 . Otrzymana nowa liczba jest te» oczywi±cie podzielna przez a . Dodajmy do niej
liczb¦ u . Otrzymamy wtedy liczb¦ v = u m u m 1 ...u 2 u 1 01000 u 1 u 2 ...u m , podzieln¡ przez a . Przez a
dzieli si¦ zatem równie» liczba v 0 = u m u m 1 ...u 2 u 1 00010 u 1 u 2 ...u m oraz liczba v v 0 = 9900 ... 00.
Ale nwd( a, 10) = 1, wi¦c a | 99.
Sposób II ([Ko02] s.71). Najpierw stwierdzamy, »e rozpatrywana liczba a jest wzgl¦dnie pierwsza
z 10. Do tego celu wystarczy wykorzysta¢ znany fakt, »e dla dowolnej liczby naturalnej m istnieje
liczba naturalna podzielna przez m i maj¡ca w swoim zapisie dziesi¦tnym tylko jedynki i zera.
Je±li ju» wiemy, »e nwd( a, 10) = 1, to wiemy (znany fakt), »e istnieje liczba u postaci 11 .. 11
podzielna przez a . Załó»my, »e tych jedynek jest k . Niech v = 23 · u . Wtedy v = 322 ... 2219 i v 0 =
9122 ... 223 (jest tutaj ( k 2) dwójek). Niech w = v 0 2 u . Wtedy w = 8900 ... 001, w 0 = 100 ... 0098
oraz w 0 9 u = 99. Wszystkie rozpatrywane liczby s¡ podzielne przez a . W szczególno±ci, a | 99.
2.1.11. Je±li m 2 N , to oznaczmy przez a ( m ) moc zbioru wszystkich liczb całkowitych postaci
n n 0 , gdzie n jest m-cyfrow¡ liczb¡ naturaln¡. Wykaza¢, »e
8
<
1 , gdy m = 1;
18 · 19 m 2 , gdy m jest liczb¡ parzyst¡ ;
a ( m ) =
([Kw]1/198826) .
:
m 3
2 , gdy m jest liczb¡ nieparzyst¡ > 1 .
18 · 19
2.1.12. Je±li liczba n ma 17 cyfr, to liczba n + n 0 ma co najmniej jedn¡ cyfr¦ parzyst¡.
([Kw]7/197142) .
2.1.13. Je±li liczba n ma 4 k + 1 cyfr, to liczba n + n 0 ma co najmniej jedn¡ cyfr¦ parzyst¡.
([Kw]7/197142) .
U. Je±li liczba cyfr liczby n jest parzysta lub jest postaci 4 k + 3, to liczba n + n 0 mo»e mie¢ same
cyfry nieparzyste. Przykłady: 21 + 12 = 33, 726 + 627 = 1353.
2.1.14. Niech f ( n ) = ( n + 2) 0 dla n 2 N . Ci¡g 1 , f (1) , ff (1) , fff (1) , ... , czyli ci¡g
1 , 3 , 5 , 7 , 9 , 11 , 31 , 33 , 53 , ...
jest okresowy, o czystym 81 -wyrazowym okresie. ([S59]289) .
1244564412.002.png 1244564412.003.png
 
AndrzejNowicki,Cyfryliczbnaturalnych. 2.Przestawianiecyfr
23
2.1.15. Niech f ( n ) = ( n + 2) 0 dla n 2 N . Wtedy dla dowolnej liczby naturalnej n 6 100 ci¡g
n, f ( n ) , ff ( n ) , fff ( n ) , ...
jest okresowy, o okresie czystym lub mieszanym, maj¡cym 81 wyrazów ( i b¦d¡cym permutacj¡
cykliczn¡ okresu dla n = 1) . ([S59b]) .
2.1.16. Niech g ( n ) = ( n + 5) 0 dla n 2 N . Wtedy ci¡g
1 , g (1) , gg (1) , ggg (1) , ... czyli ci¡g
1 , 6 , 11 , 61 , 66 , 17 , 22 , 72 ,...
jest okresowy, o czystym 207 -wyrazowym okresie. ([S59]289) .
2.1.17. Niech h ( n ) = ( n + 10) 0 dla n 2 N . Wtedy ci¡g
1 , h (1) , hh (1) , hhh (1) , ... czyli ci¡g
1 , 11 , 12 , 22 , 23 ,...
nie jest okresowy. Natomiast ci¡g n, h ( n ) , hh ( n ) , hhh ( n ) , ... dla n = 1011 jest okresowy i
jego okres ma 18 wyrazów. ([S59]289) .
2.1.18. Rozpatrzmy ci¡g ( x n ) liczb naturalnych, zdefiniowany wzorami:
x 1 = a, x n +1 = x 0 n + b,
gdzie a,b s¡ danymi liczbami naturalnymi. Je±li liczba b jest pot¦g¡ liczby 2 albo liczby 5 , to
ci¡g ( x n ) jest okresowy. (B.Rokowska1959,) .
2. 1.1 9. W dowolnym systemie numeracji o podstawie q > 3 istnieje jedyna trzycyfrowa licz-
ba abc, której przedstawienie w systemie numeracji o podstawie h = q ± 1 jest równe cba.
([OM]Austria2003) .
2.1.20. Niech n 2 N . Liczby n 2 ( n 2 + 2) 2 i n 4 ( n 2 + 2) 2 w swym zapisie przy podstawie n 2 + 1
maj¡ te same cyfry, lecz w odwrotnym porz¡dku. ([OM]Szwecja1989,[Pa97]) .
2.1.21. Istniej¡ liczby kwadratowe postaci n · n 0 . Przykłady: 288 · 882 = 504 2 , 528 · 825 =
660 2 , 768 · 867 = 816 2 , 8712 · 2178 = 4356 2 , 98901 · 10989 = 32967 2 . ([Mon]E12431(1977),7(1979)) .
2.1.22. Dla ka»dej liczby naturalnej n > 3 istnieje liczba n-cyfrowa a, nie b¦d¡ca kwadratem
i ró»na od a 0 taka, »e liczba a · a 0 jest kwadratowa. ([Ko02]) .
D. Je±li n jest nieparzyste, to ka»da liczba a postaci
8 = 2 10 s +1 + 2 2
a = 2 0 0 .. . 0
8 0 0 .. . 0
| {z }
s
| {z }
s
spełnia »¡dane warunki. W tym przypadku
2 = 2 2 · 10 s +1 + 1 2
a 0 = 8 00 .. . 0
| {z }
s
8 00 .. . 0
| {z }
s
i st¡d a · a 0 = 2(10 s +1 + 2)(2 · 10 s +1 + 1) 2 .
Je±li n jest liczb¡ parzyst¡, to warunki zadania spełniaj¡ liczby postaci
a = 11(10 s + 2) 2 .
W tym przypadku a 0 = 11(2 · 10 s + 2) 2 i st¡d a · a 0 = (11(10 s + 1)(2 · 10 s + 1)) 2 .
1244564412.004.png 1244564412.005.png 1244564412.006.png
 
Zgłoś jeśli naruszono regulamin