praca tex.pdf

Zauwazmy, ze w podanym twierdzeniu podane zalozenia sa nieco mocniejsze

niz odpowiednie zalozenia twierdzenia Lagrange'a, poniewaz tutaj zakladamy

nie tylko istnienie pochodnych czastkowych, ale takze ich ciaglosc. Bez za-

lozenia ciaglosci pochodnych czastkowych wzor podobny do wzoru (1.11.1) jest

prawdziwy, jednak z ta roznica, ze punkty posrednie, w ktorych oblicza sie

pochodne czstkowe, nie musza byc te ame oraz nie musza nawet lezec na od-

cinku laczacym punkty (x 1 ;y 1 ) i (x 2 ;y 2 ).

Interpretacja geometryczna wzoru (1.11.1) jest nastepujaca: Jezeli wezmiemy

dwa punkty M 1 (x 1 ;y 1 ;z 1 )orazM 2 (x 2 ;y 2 ;z 2 ) lezace na powierzchni z= f (x , y)

jest rownolegla do siecznej M 1 M 2 (rys. 1.16). Jezeli teraz uzyjemy troche

innych oznaczen, mianowicie zamiast (x 1 ;y 1 ) napiszemy odpowiednio (x, y), a

zamiast (x 2 ;y 2 ) napiszemy (x+dx, y++dy), gdzie dx i dy oznaczaja odpowied-

nio przyrosty zmiennej x i zmiennej y, to wzor (1.11.1) przybierze postac

f(x + dx;y + dy) f(x;y) = f 0 x (x 0 ;y 0 ) dx + f 0 y (x 0 ;y 0 ) dy;

gdzie x 0 = x + dx;y 0 = y + dy (0 < < 1).

Przyrost funkcji nie jest na ogol wyrazeniem liniowym wzgledem przyrostow

zmiennych niezaleznych; jednak w wielu przypadkach mozemy go dla malych

przyrostow argumentow zastapic z dosc duza dokladnoscia przez wyrazenie lin-

iowe. Wlasnie pojecie rozniczki funkcji ciaglej f wiaze sie z istnieniem takiej

funkcji liniowej D wzgledem przyrostow zmiennych niezaleznych, ktora aproksy-

muje przyrost funkcji f w ten sposob, ze iloraz roznicy f-D przez odleglosc

punktow wyznaczajacych ten przyrost dazy do zera, gdy odleglosc tych punk-

tow dazy do zera. Jezeli taka funkcja (forma) liniowa D wzgledem przyrostow

zmiennych niezleznych istnieje, to nazywamy ja rozniczka zupelna funkcji f.

Dla lepszej ilustracji rozwazmy najpierw funkcje jednej zmiennej y=f(x) (por.

Tez I, x6.1). Zgodnie z tym, co zostalo powiedziane, warunek istnienia rozniczki

funkcji f w punkcie x = x 0 polega na istnieniu takiej stalej A, ze:

f A=;dx

jdxj

lim

jdxj!0

= 0;gdzief = f(x 0 + dx) f(x 0 ):

Widzimy od razu, ze warunek (1.11.3) jest rownowazny warunkowi A =

f 0 (x 0 ): A wiec funkcja jednej zmiennej f(x) ma rozniczke (zupelna) w punkcie

x 0 wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje pochodna f 0 (x 0 ), i wowczas rozniczka funkcji

(w tym punkcie) rowna sie

D(dx) = f 0 (x 0 ) dx:

Przypuscmy teraz, ze mamy funkcje dwoch zmiennych u= f(x,y). Funkcja ta

bedzie miala rozniczke zupelna w punkcie P 0 (x 0 ;y 0 ), jezeli beda istnialy takie

stale, ze A, B, ze

= 0;gdziejPP 0 j = p (dx) 2 + (dy) 2 ; f = f(x 0 +dx;y 0 +dy)f(x 0 ;y 0 ):

f (Adx + Bdy)

jPP 0 j

lim

jPP 0 j!0

Latwo zauwazyc przyjmujac dy=0, a nastepnie dx=0, ze jezeli warunek

(1.11.5) jest spelniony, to istnieja pochodne czastkowe f 0 x (x 0 ;y 0 );f 0 y (x 0 ;y 0 ) oraz

A = f 0 x (x 0 ;y 0 );B = f 0 y (x 0 ;y 0 ):

Wnioskowanie odwrotne nie jest jednak prawdziwe. Zobaczmy to na przykladzie

funkcji

x 2 +y 2 dla

(x;y) 6= (0; 0);

g(x;y) =

(1)

dla

x = y = 0:

Funkcja g(x, y), jak widac z powyzszego, jest okreslona na calej plaszczyznie.

Wzdluz obu osi wspolrzednych funkcja ta rowna sie stale zeru, wobec tego dla

dowolnych x i y mamy g 0 x (x; 0);g 0 y (0;y) = 0, wiec w szczegolnosci

g 0 x (0; 0);g 0 y (0; 0) = 0, a wobec tego rozniczka funkcji g w punkcie (0, 0) bylaby

postaci

D(dx;dy) = 0:

Tymczasem przyrost funkcji w punkcie (0 , 0) jest nastepujacy:

g = g(dx;dy) g(0; 0) = dxdy

(dx) 2 + (dy) 2 :

Poniewaz jPP 0 j = p (dx) 2 + (dy) 2 , wiec warunek (1.11.5) w naszym przy-

padku wyglada nastepujaco:

dxdy

((dx) 2 + (dy) 2 ) 3=2 = 0:

Rozumujac analogicznie jak w zadaniu 1.8 (str. 18), mozna wykazac, ze

nie tylko granica stojaca po lewej stronie rownosci (1.11.9) nie istnieje, ale ze

wyrazenie stojace pod znakiem ranicy w dowolnym otoczeniu punktu dx=dy=0

przybiera dowolnie duze wartosci.

Jak wynika rowniez z zadania 1.8, funkcja (1.11.7) jest nieciagla w punkcie

(0,0) wprost z denicji, ma w punkcie (0, 0) pochodna w dowolnym kierunku.

Mowimy, ze funkcja f(x,y) okreslona w otoczeniu punktu P 0 (x 0 ;y 0 ) ma w

tym punkcie rozniczke zupelna w sensie Stolza Adx+Bdy, jezeli jest spelnony

warunek (1.11.5).

Poniewaz z warunku (1.11.5) wynikaja rownosci (1.11.6) niekiedy w liter-

aturze rozniczka zupelna funkcji f(x, y) w punkcie P 0 (x 0 ;y 0 ) nazywa sie wyraze-

nie liniowe postaci

lim

jPP 0 j!0

f 0 x (x 0 ;y 0 ) dx + f 0 y (x 0 ;y 0 ) dy;

przy jednym warunku, ze pochodne czastkowe wystepujace we wzorze (1.11.10)

istnieja. Przy takiej jednak denicji rozniczka zupelna nie musi byc, jak to

widzielismy na przykladzie funkcji (1.11.7), przyblizeniem liniowym przyrostu

f = f(x 0 + dx;y 0 + dy) f(x 0 ;y 0 ):

Rozniczke zupelna fnkcji f(x, y) w

punkcie (x 0 ;y 0 ) oznaczamy symbolami

df;df(x 0 ;y 0 ); (df) (x 0 ;y 0 ) :

Wazne praktycznie znaczenie ma nastepujace twierdzenie:

(1.11.11) Jezeli funkcja f(x, y) jest w pewnym otoczeniu punktu (x 0 ;y 0 )

klasy C 1 , to jest spelniony warunek (1.11.5), a zatem forma liniowa (1.11.10)

jest rozniczka zupelna w sensie Stolza, czyli jest liniowa czescia przyrostu f.

Nalezy pamietac, ze rozniczka zupelna funkcji f(x, y) jest funkcja liniowa

przyrostow dx, dy, natomiast sam punkt (x, y) jest ustalony. Z punktu

widzenia geometrycznego, rozniczka zupelna funkcji dwoch zmiennych z=f(x, y)

w punkcie (x 0 ;y 0 ) wyraza przyrost z wzdluz plaszczyzny stycznej w punkcie

(x 0 ;y 0 ;z 0 ), gdzie z 0 = f(x 0 ;y 0 ) do powierzchni z=f(x, y).

Analogicznie wprowadza sie pojecie rozniczki zupelnej (rozniczki zupelnej

w sensie Stolza) dla funkcji p zmiennych f(x 1 ;x 2 ;:::;x p ). ZADANIE 1.79

Obliczyc, jaki popelniamy maksymalny blad bezwzgledny oraz wzgledny przy

obliczaniu objetosci prostopadloscianu o krawedziach wyznaczonych z podana

dokladnoscia: x = 4; 10; 1;y = 3; 20; 1;z = 8; 40; 2: ROZWIAZANIE. Aby

wyznaczyc wartosc funkcji f(x, y, z) w pewnym punkcie (x+dx, y+dy, z+dz),

korzstamy ze wzoru

f(x + dx;y + dy;z + dz) f(x;y;z) + df;

gdzie dx, dy, dz sa przyrostami odpowiednio zmiennych x, y, z. Niech beda dane

pewne maksymalne oszacowania tych przyrostow:

jdxj M 1 ;jdyj M 2 ;jdzj M 3 :

Wowczas mozna oszacowac z gory modul roznicy f = f(x + dx;y + dy;z +

dz) f(x;y;z): Korzystajac ze zwiazku

f df = @f

@x dx + @f

@y dy + @f

@z dz;

otrzymujemy oszacowanie

M 1 +

M 2 +

M 3 :

@x dx

@y dy

@z dz

jfj

Powyzszy wzor daje nam oszacowanie bledu bezwzglednego, jaki popelni-

amy, jezeli zastepujemy rzeczywista wartosc funkcji f wzieta w nieznanym nam

dokladnie punkcie ( x+dx, y+dy, z+dz) przez wartosc funkcji w znanym nam

punkcie (x, y, z).

W naszym przypadku fnkcji f(x, y, z)=xyz mamy

x = 4; 1;jdxj 0; 1;y = 3; 2;jdyj 0; 1;z = 8; 4;jdzj 0; 2:

Obliczamy rozniczke zupelna

df = yzdx + xzdy + xydz:

Maksymalny blad bezwzgledny, jakie popelniamy obliczajac objetosc tego

prostopadloscianu, wynosi

jfj 3; 2 8; 4 0; 1 + 4; 1 8; 4 0; 1 + 4; 1 3; 2 0; 2 = 8; 756 < 8; 8:

Maksymalny blad wzgledny popelniony podczas obliczen otrzymujemy dzielac

maksymalny blad bezwzgledny przez wyznaczona objetosc prostopadloscianu,

zatem

f = jDeltafj

< 8; 8

110; 2 0; 08 = 8%

ZADANIE 1.80. Obliczyc przyblizona wartosc wyrazenia (1; 02) 3;01 . Rozwiazanie.

Rozpatrzmy funkcje f(x;y) = x y . Poniewaz jest spelnione zalozenie twierdzenia

(1.11.11) w otoczeniu punktu (1, 3), zatem mozna przyjac, ze f(x 0 + dx;y 0 +

dy) + df. Obliczamy rozniczke zupelna

df = yx y1 dx + x y lnxdy

Podstawiajac x 0 = 1;y 0 = 3; dx=0,02, dy=0,01otrzymujemy

(1; 02) 3;01 1 3 + 3 1 2 0; 02 + 1 3 ln1 0; 01 = 1 + 0; 06 = 1; 06:

ZADANIE 1.81. Obliczyc przyblizona warto sc wyraz enia p (6; 2) 2 + (8; 1) 2 :

Rozwiazanie. Rozpatrzmy funkcje f(x;y) = p x 2 + y 2 : Rozniczka zupelna tej

funkcji ma postac

df = 1

p x 2 + y 2 (xdx + ydy):

Podstawiajac x 0 = 6;y 0 = 8;dx = 0; 2;dy = 0; 1; otrzymujemy

p (6; 2) 2 + (8; 1) 2 =

36 + 64 +

36 + 64 (6 0; 2 + 8 0; 1) = 10 + 0; 2 = 10; 2:

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika: