Zauwazmy, ze w podanym twierdzeniu podane zalozenia sa nieco mocniejsze niz odpowiednie zalozenia twierdzenia Lagrange'a, poniewaz tutaj zakladamy nie tylko istnienie pochodnych czastkowych, ale takze ich ciaglosc. Bez zalozenia ciaglosci pochodnych czastkowych wzor podobny do wzoru (1.11.1) jest prawdziwy, jednak z ta roznica, ze punkty posrednie, w ktorych oblicza sie pochodne czstkowe, nie musza byc te ame oraz nie musza nawet lezec na odcinku laczacym punkty ($x_1 , y_1$) i ($x_2 , y_2$).
\par Interpretacja geometryczna wzoru (1.11.1) jest nastepujaca: Jezeli wezmiemy dwa punkty $M_1(x_1 , y_1 , z_1) oraz M_2(x_2 , y_2 , z_2)$ lezace na powierzchni z=\,f\,(x , y) jest rownolegla do siecznej $M_1M_2 (rys. 1.16).
\par Jezeli teraz uzyjemy troche innych oznaczen, mianowicie zamiast $(x_1, y_1)$ napiszemy odpowiednio (x, y), a zamiast $(x_2, y_2)$ napiszemy (x+dx, y++dy), gdzie dx i dy oznaczaja odpowiednio przyrosty zmiennej x i zmiennej y, to wzor (1.11.1) przybierze postac
$$ f(x+dx, y+dy)-f(x, y)=f'_x(x_0, y_0)\,dx+f'_y(x_0, y_0)\,dy,$$
gdzie $x_0=x+\Theta dx, y_0=y+\Theta dy \quad (0<\Theta<1)$.
\par Przyrost funkcji nie jest na ogol wyrazeniem liniowym wzgledem przyrostow zmiennych niezaleznych; jednak w wielu przypadkach mozemy go dla malych przyrostow argumentow zastapic z dosc duza dokladnoscia przez wyrazenie liniowe. Wlasnie pojecie rozniczki funkcji ciaglej f wiaze sie z istnieniem takiej funkcji liniowej D wzgledem przyrostow zmiennych niezaleznych, ktora aproksymuje przyrost funkcji f w ten sposob, ze iloraz roznicy $\Delta$ f-D przez odleglosc punktow wyznaczajacych ten przyrost dazy do zera, gdy odleglosc tych punktow dazy do zera. Jezeli taka funkcja (forma) liniowa D wzgledem przyrostow zmiennych niezleznych istnieje, to nazywamy ja rozniczka zupelna funkcji f.
\par Dla lepszej ilustracji rozwazmy najpierw funkcje jednej zmiennej y=f(x) (por. Tez I, \S 6.1). Zgodnie z tym, co zostalo powiedziane, warunek istnienia rozniczki funkcji f w punkcie $x=x_0$ polega na istnieniu takiej stalej A, ze:
Kometa25