Matematyka Korepetycje 4 Badanie przebiegu funkcji.pdf

(5902 KB) Pobierz
LICEUM, TECHNIKUM
BADANIE PRZEBIEGU
.
FUNKCJI
'·
t;"k'I(;
:/ll-
'.fe'.70gółowe
rozwiązania
wtu l'
7
opisem
zadań,
z
jakimi
··ii<>t~
c1v
się
na
lekcjach
matematyki,
w
:ndcmiach domowych
i
na
klasówkach.
I
I
I
I
I
I
I
I
t
-·l-ł--1--+-~--+--+-+----i--+--+--+--•
szOOku
Spis
przykładowe
treści
7
I.
Granica
funkcji
-
definicje ..
„
Granica funkcji
w punkcie
-
..... „ „ „ . „ „ ......
„ ...
„ „ ...
„ „ . „ „ „
... „ . „ ... „ . „ ....
„ .
zadania
„ „ „
.. „ „ . „ „ . „ . „ . „ „ . „ „ „ .
8
„.„.„.
„.„„„„
Granica funkcji w
nieskończoności
-
przykładowe
zadania
2.
Ciągłość
funkcji
w
punkcie
-
definicja
„ „ „.
„
..
„ .
„
Ciągłość
18
Granice
jednostronne funkcji
-
przykładowe
zadania
„ . „ „ „ „ . „ . „ . „ . „ „.
„ „
23
„ „ „ . „ „ . „ „
••
.
„ . „ . „ . „ „ . „
3I
45
funkcji
w
punkcie
-
przykładowe
zadania
„ „ „ „
.
„ „ „ „ „ „ „ „ „ . „ „ .
3
I
definicje
„
„
.„
.„„„„„.„„
.
„
„„.„„„„
„„.„.„„
.„„„„„.„
.
„„.„.„„„.„.
(i)
Pierwsza
pochodna
funkcji
-
@
Pierwsza pochodna
funkcj
i
-
przykładowe
zadania
46
Badanie przebiegu
zmienności
funkcji
-
definicje, twierdzenia
„ . „ .
„ „ .
65
Badanie
przebiegu
zm
ie nnośc
i
funkcji -
przykladowe
zadania
. „ „ . „ . „ „ „
68
W
7
częściach
książki
Matematyka
-
korepetycje
znajdziesz
następujące
działy:
Część
Część
Część
Część
Część
Cz~ść
Cz~ść
1
Funkcja
wykładnicza
i logarytmiczna
ciąg
i
2
Funkcje
liniowe. kwadrato\ve i
wielomianowe
3 Indukcja matematyczna,
i ich granice
4
Badanie pm:bicgu
funkcji
5
Funkcje
trygonometryczne
6
Geometria pfaszczyzny
7
Stereometria
3
X
X
X
Miłej
Nauki;)
szOOku
Granica funkcji
nieskoń
czonoś
ci
(wed
ług
DEFINICJE
Definicj a granicy fu
n
kcji
w
limf(x)=g~
x-...++oo
(x
1.1)
x,
1
e
D
Heinego)
/\
{(Iimx„
=+oo)=>
(lim/(x„)
=
g)}
11->
oo
1
n-'t
oo
Definicja granicy
fun
kcji
w
punkcie:
Funkcja .f{x)
posiada
w
punkcie
x
0
granicę
g
,
wtedy
i
tylko wtedy,
gdy
dla
każdego
c
i
ągu
(x,,),
gdzie
x
11
E
D
o
wyrazach
x
-::f:.
x
,
ciąg wartości
funkcji
0
1
jest
zbi
eżny
(czyli
ma
granicę)
do
g.
l
im.f(x)=g~
.r->.r
0
(x,
1)
n-+OC)
.r.e
D
1
.t„
-
/\
{l
imx
=x
0
=>
1im/(x,,)=g}
11
n-+oo
·"o
Granice funkcji
liczymy podobnie jak
granice
kilka podstawowych
granic
funkcj
i:
a)
lim
x
=x
0
X->X0
ciągów
liczbov.rych.
Oto
b) lim
x
=+oo
.r_.+oo
c)
lim
x
=-oo
x->
-
oo
e)
lim
.t-)- oo
X
l
=O·
'
x
;t=
O
t)
lim
.1·~0-
X
-
l
-
-
oo·
'
x
;t=
O
g)
lim
x~O~
X
L
=
+oo;
x
;i!=
O
7
Granica funkcji
x
~
O,
x
0
~
O
,
·
: .
",
h)
lim
-YX
=
..JX
0,
X-)J.'O
ZADANI E 2
Oblicz
granicę
i)
lim
.,,/X
=
+oo,
X->+oo
X~
O
fun
kcj
i/(x)
=
2x
w
punkcie
x
0
=
O
Rozwi ązanie:
Twierdzenie:
Jeżel i
lim
2x
=
2
·O
=
O
lim/{x)
.t-+.to
f
x->0
i
lim
g(x)
=
g,
to:
:c->tu
Odp owi edź
Znowu w miejsce
x
wstawiamy O. W
tego
typu
zadaniach
nie pojawia
się żadna trudność
poza
tym,
ie
trzeba
umieć obliczać wartość
funkcji
w
punkcie
Xo·
1) lim
[/(x)
+
g(x)
I
/
x~.\'o
t-
g
lim
/(x)
=
O
.<->O
2)
lim
[/(x)
-
g(x)j
X-+.\"
0
=/
g
ZADANIE
3
Oblicz
granicę
3)
lim
[/{x)
·
g(x)
I
=.f"g
X->X0
funkcji /(x)
=
3x
+
J
w
punkcie
x
0
=
-
5
Postępujemy
.
4)
I
1111
H
x0
[/(X)]
=
/
-
-
g(x)
g
z
a,.:
g-:;;
o
I
Rozwiązanie
:
lim
(3x
+
I)= 3-(-5)
+
I
=
X->- 5
analogicznie jak
w
poprzednich
zadaniach.
O
bliczaj
ąc
granicQ
fu
nkcji
możemy
s
iQ
spotkać
z
następującymi
symbolami
=
-
15+1
=
-1
4
Odpowiedź
meoznaczonym 1.
-
o
,
co-oo,
oo
o
·oo,
-.
o
oo
.
„
oo
,
oo,
l
°"
o
lim
j{x)
=-
14
x~-5
GRANI
C
A
F
UNKC J
I
W PUNKCI E
-
przykładowe
zadania
Przytoczmy
jeszcze
raz
defi
nicję
granicy
funkcji
w
punkcie
(dcf.
Heinego)
ZADANIE
4
Oblicz
granicę
funkcj
i/(x)
=
x
2
w
punkcie
x
0
=
-
7
Rozwi ązanie:
lim
.f{x)
=
g
~
X-)X0
{.t
.
)
/\
{lim
x„
=
x
0
=>
lim
f(x,)
=
g}
11-+oo
11-Joo
.r„
'"f.X0
x.e
D
1
lim
x
2
= (-
7)
2
=
49
ZADANIE
1
Oblicz
gran icę
fu
nkcj i./(x)
=
x
w
punkcie
x
0
=
3
Rozwi
ąza
nie :
x->-7
Odpowi
edź
łim/(x)
=
x->-7
49
liin
x
=
3
x->3
O
dpowi edź
Wstawiamy w miejsce
x
liczbę
3.
Mamy
funkcję
postaci
f(x'J
=
x,
skoro
x
dąźy
do trzech,
to
i
f(X)
też dąży
do
trzech.
Z
ADANIE
5
Oblicz
granicę
funkcji/(x)
=
-
2x
2
w
punkcie
x
0
=
-
3
9
limf(x)
=
3
X->3
8

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika:

Zgłoś jeśli naruszono regulamin