Logika1rok.pdf

(488 KB) Pobierz
Szanowni Państwo,
niniejsze notatki do wykładu nie są jeszcze gotowym skryptem. Wymagają wielu przeróbek i poprawek, a
nawet są nieustannie poprawiane i rozszerzane. Należy zatem sprawdzać, czy posiadana wersja jest wersją
aktualną. Proszę o przesyłanie na mój adres (dostępny na mojej stronie Web) wszelkich uwag i spostrzeżeń
odnoszących się do aktualnej wersji notatek.
Udostępniam je Państwu, aby ułatwić przygotowanie się do egzaminu. Mają one charakter prywatny. Bardzo
proszę aby tych notatek nie udostępniać nikomu poza studentami uczęszczającymi na moje wykłady w roku
akademickim 2003/2004.
Obowiązują również zwykłe przepisy odnośnie praw autorskich. W tych notatkach, nie zostały zaznaczone
prace na których wzorowałem się w ujęciu niektórych tematów.
Życzę owocnej pracy z niniejszą pomocą.
Pozdrawiam
Ks. Adam Olszewski
PODSTAWY LOGIKI DLA FILOZOFÓW
WYKŁADY Z LOGIKI DLA ROKU PIERWSZEGO..
SPIS TREŚCI
1. OGÓLNIE O LOGICE.....................................................................................................3
1.1 LOGIKA W PERSPEKTYWIE HISTORYCZNEJ...................................................3
1.2 CO TO JEST LOGIKA I JAKI JEST CEL JEJ NAUCZANIA...................................7
1.3 O KONWENCJACH W LOGICE............................................................................... 8
2. METODY METALOGICZNE..........................................................................................10
2.1 O INDUKCJI..............................................................................................................10
2.1 UŻYCIE A WYMIENIANIE WYRAŻEŃ................................................................13
2.3 KATEGORIE SEMANTYCZNE.............................................................................. 14
2.4 SEMIOTYKA LOGICZNA I METAJĘZYK............................................................ 17
3. LOGICZNA TEORIA ZDAŃ............................................................................................19
4. NIEFORMALNA TEORIA ZBIORÓW.............................................................................33
5.1 EKSTENSJONALNA TEORIA NAZW. ............................................................... 47
Zatem do treści nazwy, która jest zbiorem, należą jako elementy formy zdaniowe jednej
zmiennej. ............................................................................................................................ 50
PRZYKŁAD..........................................................................................................................50
Do treści nazwy krowa należą, między innymi, następujące formy zdaniowe jednej
zmiennej: x jest ssakiem, x jest roślinożerny, x daje mleko; ale do treści nazwy krowa nie
należą formy zdaniowe: x jest koloru czarno-białego, x ma na imię Krasula, gdyż nie
wszystkie desygnaty nazwy krowa posiadają wymienione cechy.........................................50
Pomiędzy denotacjami nazw i ich treściami zachodzi zależność, którą można ściśle
udowodnić. Wyraża ona to, że im bardziej denotacja jakiejś nazwy niepustej jest większa
(względem relacji inkluzji), tym treść tej nazwy mniejsza jest mniejsza..............................50
TWIERDZENIE....................................................................................................................50
Dla dowolnych nazw niepustych n oraz m:..........................................................................50
D(n)
⊂
D(m) wtw T(m)
⊂
T(n).........................................................................................50
Dowód:.................................................................................................................................50
(
⇒
) ......................................................................................................................................50
Załóżmy, że zachodzi D(n)
⊂
D(m) .....................................................................................50
1
Załóżmy dodatkowo, że A(x)
∈
T(m)...................................................................................50
∀
a
∈
D(m) (A(a)). [z def. treści nazwy]..............................................................................50
[dopełnienie: NOT] NOT(X, Y) := (Y, X)........................................................................... 52
DEFINICJE..........................................................................................................................52
7. LOGIKA PIERWSZEGO RZĘDU....................................................................................54
7.1 KLASYCZNY RACHUNEK ZDAŃ....................................................................... 57
7.2 KLASYCZNY RACHUNEK PREDYKATÓW .......................................................72
2
1. OGÓLNIE O LOGICE.
1.1 LOGIKA W PERSPEKTYWIE HISTORYCZNEJ.
DZIEJE TERMINU ‘LOGIKA’.
Termin ‘logika’, czy też jego odmiany, pojawia się u
DEMOKRYTA
(460-371), w tytule
jego dzieła
O sprawach logicznych, czyli kanon.
Problematyka logiczna. w kwestiach
definiowania terminów i rozważań na temat indukcji, występuje u
SOKRATESA
(469-
399) i jego ucznia
PLATONA
(427-347).
Pismom logicznym
ARYSTOTELESA
(384-322);
Kategorie
(o nazwach),
O
wypowiadaniu się
(o zdaniach),
Analityki pierwsze
(o wnioskowaniu),
Analityki wtóre
(o
metodologii nauk),
Topiki
(o wnioskowaniu ‘prawdopodobnym’),
O dowodach
sofistycznych
(właściwie o obalaniu dowodu cudzego) nadano wspólny tytuł
Organon
- po
polsku ‘narzędzie’ – gdyż zawierały niezbędny zestaw wiadomości i umiejętności, dla
filozofowania. Arystoteles miał nazywać
logicznym,
typ dowodzenia, opierający się na
wiedzy ogólnej. Logicznie postępuje ten, kto daje sobie radę w przemawianiu, potrafi
uzasadniać i prowadzić dociekliwą rozmowę. Ten termin przeciwstawiał terminowi
‘analityczny’- dowodowy; ‘fizyczny’ – rozumowanie o zagadnieniach przyrodoznawstwa;
‘dialektyczny’ – rozumowanie prowadzące do wniosków prawdopodobnych.
STOICY
(III-II wiek p. n. Ch.) posługiwali się terminem
logiczna część filozofii
dla określenia
logiki. Logikę stoicką nazywali późniejsi autorzy ‘dialektyką’ i ten właśnie termin
pozostawał głównie w użyciu aż do średniowiecza (XII wiek). Od XVII wieku dominuje
już termin ‘logika’. Terminem ‘logika
formalna’
nazywa
KANT
(1724-1804) system
logiki Arystotelesa, który uważał mylnie za ostateczny i doskonały. Logika
transcendentalna Kanta była rozwinięciem systemu kategorii.
Logika jest dyscyplina naukową mającą bardzo długą historię. Jej początki sięgają Chin
(IV-III stulecie p. n. Ch.) i starożytnej Grecji (V wiek p. n. Ch.). Pojawiła się w związku z
rozwinięciem, przede wszystkim w obrębie cywilizacji helleńskiej, zdolności do
konstruowania abstrakcyjnych pojęć oraz prowadzenia rozumowań o charakterze
systematycznym. Rodzące się wówczas, na tej bazie, rozliczne dyscypliny naukowe
wymagały opracowania teoretycznych podstaw badania poprawności rozumowań
(wnioskowań). Po drugie rozwijająca się filozofia, a w szczególności refleksja nad
poznaniem, w niektórych swych rozważaniach produkowała sofizmaty, antynomie i
paradoksy. Szczególnie ‘zasłużyły’ się w tym następujące szkoły filozoficzne;
SOFIŚCI,
ELEACI
oraz
MEGAREJCZYCY.
SOFIZMAT
:= (gr.
sophisma
– fałszywy wniosek, wykręt) rozumowanie w którym
świadomie popełniono błąd logiczny, który nadaje temu rozumowaniu pozór poprawności.
Przykład:
Rogów nie zgubiłeś, a czegoś nie zgubił, to posiadasz; zatem posiadasz rogi.
ANTYNOMIA :=
jest to zbiór zdań, których uznanie wydaje się być dozwolone i
prowadzi jednak, poprzez poprawne rozumowanie, do uzasadnienia równoważności
jakiegoś zdania i jego negacji (czyli do sprzeczności). Przykład:
Zdanie, które teraz
wypowiadam jest kłamstwem.
Jest to wersja tzw. antynomii Kłamcy (ang. the Liar)
przypisywana Eubulidesowi z IV wieku p. n. Ch., uczniowi Euklidesa.
3
PARADOKS :=
(od greckiego
paradoksos
- nieoczekiwany, nieprawdopodobny)
rozumowanie pozornie poprawne, które prowadzi do wniosków jawnie
niezgodnych z danymi potocznego doświadczenia i przekonaniami
zdroworozsądkowymi. Przykład: ‘Lecąca
strzała jest w każdej chwili swego lotu w
pewnym określonym miejscu. To jednak, co w każdej chwili należącej do pewnego
okresu czasu jest w określonym miejscu, przez cały ten czas spoczywa. Zatem
lecąca strzała przez cały czas spoczywa.’
(Ajdukiewicz, 1948) Jest to jeden z
paradoksów Zenona z Elei (V wiek p. n. Ch.).
Już Sokrates i jego uczeń Platon reagowali negatywnie na poczynania sofistów. Dopiero
jednak Arystoteles stworzył narzędzie, dzięki któremu można było w sposób
intersubiektywny sprawdzać poprawność niektórych rozumowań i eliminować błędy.
Owym narzędziem była głównie
SYLOGISTYKA
(rachunek nazw). Arystoteles
sformułował również
zasadę sprzeczności
oraz
dwuwartościowości.
Równolegle ze
Stagirytą, jednak w opozycji do niego, działali Stoicy (Zenon z Kition, Chryzyp z ?),
którzy stworzyli
logikę zdań.
Okres średniowiecza nie przyniósł logice wielu nowych rozwiązań. Od XII wieku zaczęto
dokładniej studiować na uniwersytetach naukę Arystotelesa, a z nią jego logikę. Do jej
rozpowszechnienia przyczynił się
św. Albert Wielki
(XIII w.),
św. Tomasz z Akwinu
(XIII w.) oraz współczesny im
Piotr Hiszpan.
Na nowo odkryto prawa rachunku zdań (W.
Ockham
- XIV w.). Należy również wspomnieć o
Rajmundzie Lullusie
(1235-1315), u
którego można spotkać idee zautomatyzowania procesu rozumowania. Do ‘szalonych’ idei
Lullusa nawiązał jeden z największych myślicieli ludzkości –
Gottfried W. Leibniz
(1646-1716), który wynalazł
calculus ratiocinator.
Był to rachunek, zastępujący
rozumowanie, oparty o system znaków zwany przez Leibniza
characteristica universalis.
Zadaniem znaków było reprezentowanie pojęć. Można tutaj mówić o zaczątkach
formalizacji, choć te idee pozostały szerzej nieznane, aż do początków dwudziestego
stulecia. Od Leibniza pochodzi logiczna
zasada identyczności
która mówi, że dwa obiekty
są identyczne, o ile wszystkie własności jednego z nich, posiada drugi i odwrotnie.
Przypuszczać można, że rozwój nowożytnej nauki opartej na eksperymencie, dokonany
w Odrodzeniu, przyniósł obfity materiał logiczny, który stymulował badania logiczne.
Przełom w logice przyniósł wiek dziewiętnasty. Związany był on głównie z logikami
angielskimi i niemieckimi Działali wtedy
John Stuart Mill
(1806-1873) – rozwija logikę
indukcji;
George Boole
(1815-1864) – twórca algebry logiki wraz z
Augustem De
Morgan
(1806-1878); Amerykanin
Charles S. Peirce
(1839-1914) i
E. Schroeder
(1841-
1902) rozwinęli algebrę logiki i teorię relacji W oparciu o wyniki tych badaczy można było
uzasadnić poprawność następującego wnioskowania:
Każdy koń jest zwierzęciem, zatem
głowa konia jest głową zwierzęcia
(De Morgan).
Jeśli przez logikę tradycyjną rozumieć logikę nazw (sylogistykę) oraz rachunek zdań, to
XIX wiek rodzi nowoczesną logikę. Oprócz wspomnianej teorii relacji zostają
wprowadzone kwantyfikatory (operatory), a nade wszystko rozwinięto metodę
aksjomatyczną i formalną.
KWANTYFIKATORY :=
operatory wiążące zmienne, z których najbardziej znane to:
dla każdego x,
...
(kwantyfikator ogólny); oraz:
istnieje takie y, że
...
(kwantyfikator
szczegółowy lub egzystencjalny). Polski logik Andrzej Mostowski uogólnił pojęcie
kwantyfikatora.
Ogromne zasługi dla rozwoju logiki położył największy logik dziewiętnastego stulecia -
Gottlob Frege
(1848-1925), który przezwyciężył pokusę psychologizmu, sprowadzającą
4
logikę do psychologii. Zwolennicy psychologizmu uzasadniali swe przekonanie za
pomocą następującego, niepoprawnego, wnioskowania:
i. Logika zajmuje się prawami myślenia.
ii. Myślenie jest zjawiskiem psychicznym .
iii. Zatem: Logika jest częścią psychologii.
PSYCHOLOGIZM
:= prawa logiki są jedynie wyrazem prawidłowości psychologicznych
i są do nich sprowadzalne.
Frege, jako pierwszy, przedstawił rachunek zdań i kwantyfikatorów w postaci systemu
całkowicie sformalizowanego, w którym ściśle określono nie tylko język, ale także
aksjomaty i reguły inferencji. Jako twórca logicyzmu, próbował sprowadzić arytmetykę
liczb naturalnych do logiki (drugiego rzędu) oraz jako pierwszy przeprowadził ścisłe
rozważania na temat oznaczania i znaczenia.
LOGICYZM
:= pogląd w filozofii matematyki i logiki oraz kierunek badań w
podstawach matematyki utrzymujący, że cała matematyka jest sprowadzalna do logiki.
Prócz Fregego rozwijali go B. Russell i A. N. Whitehead.
Równolegle działał
Giuseppe Peano
(1858-1932), którego notacja logiczna weszła do
powszechnego użycia, w przeciwieństwie do skomplikowanej, dwuwymiarowej notacji
Fregego. Przykładowo, dla zapisania okresu warunkowego:
Jeśli
A,
to
B,
Peano pisał:
A
⊃
B
(była to obrócona litera ‘C’, która przetrwała w symbolice
Principów).
Od Peano również
pochodzi symbol
∈,
który oznacza relację należenia elementu do zbioru Jest to
stylizowana grecka litera
epsilon,
pierwsza litera greckiego słowa
εστι
, co znaczy po
polsku ‘być’.
Zaś Frege schemat zdaniowy ‘Jeżeli
A,
to
B’
rysował dwuwymiarowo;
B
A
Peano jest autorem pięciu aksjomatów arytmetyki liczb naturalnych, które od niego wzięły
swą nazwę – arytmetyka Peano.
Podstawowe dzieło logiczne, o bazie logicystycznej -
Principia mathematica
- napisali
wspólnie wielcy logicy, i równocześnie filozofowie -
Bertrand Russell
(1872-1970) i
Alfred N. Whitehead
(!861-1947). Przez swoją działalność logiczno-filozoficzną wywarli
ogromny wpływ na kształt poszukiwań logicznych dwudziestego stulecia.
Matematyk niemiecki
Dawid Hilbert
(1862-1943) był twórcą formalizmu,
konkurencyjnego względem logicyzmu, kierunku badań w podstawach matematyki i
filozofii matematyki. Był twórcą teorii dowodu czyli ówczesnej metamatematyki.
5

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika:

Zgłoś jeśli naruszono regulamin