kwa06(2).pdf

(184 KB) Pobierz
Podró»epoImperiumLiczb
Cz¦±¢03. LiczbyKwadratowe
Rozdział6
6.D(m)-zbiory
AndrzejNowicki19marca2012, http://www.mat.uni.torun.pl/~anow
Spistre±ci
6D(m)-zbiory
93
6.1
Ogólne fakty o D(m)-zbiorach
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
93
6.2
D(-1)-zbiory
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
95
6.3
D(1)-zbiory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
95
6.4
Wymierne D(1)-zbiory
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
101
6.5
Przykłady D(m)-zbiorów
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
102
Wszystkie ksi¡»ki z serii ”Podró»e po Imperium Liczb” napisano w edytorze L A T E X.
Spisy tre±ci tych ksi¡»ek oraz pewne wybrane rozdziały mo»a znale¹¢ na internetowej stronie
autora: http://www-users.mat.uni.torun.pl/~anow .
1244564274.001.png 1244564274.002.png
6D(m)-zbiory
Niech A b¦dzie podzbiorem zbioru liczb naturalnych i niech m b¦dzie niezerow¡ liczb¡
całkowit¡. Mówi¢ b¦dziemy, »e A jest D ( m ) -zbiorem , je±li ka»da liczba postaci ab + m , gdzie
a,b 2 A , a 6 = b , jest kwadratowa ([Duje]). Liczb¦ elementów takiego zbioru nazywa¢ b¦dziemy
długo±ci¡ zbioru A . Dla przykładu, { 2 , 7 , 17 } jest D (2)-zbiorem długo±ci 3. Mamy tu:
2 · 7 + 2 = 4 2 , 7 · 17 + 2 = 11 2 , 17 · 2 + 2 = 6 2 .
oooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo
6.1OgólnefaktyoD(m)-zbiorach
oooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo
6.1.1 (Euler) . Niech m b¦dzie niezerow¡ liczb¡ całkowit¡. Niech a,b b¦d¡ liczbami natural-
nymi takimi, »e ab + m jest liczb¡ kwadratow¡ równ¡ r 2 , gdzie r 2 N . Wtedy { a,b,a + b + 2 r }
jest D ( m ) -zbiorem długo±ci 3 . Zachodz¡ równo±ci:
ab + m = r 2 , ac + m = ( a + r ) 2 , bc + m = ( b + r ) 2 ,
gdzie c = a + b + 2 r . Innymi słowy, ka»dy D ( m ) -zbiór długo±ci 2 mo»na rozszerzy¢, do D ( m ) -
zbioru długo±ci 3 . ([Dic2]s.514) .
Z tego faktu wynikaj¡ nast¦puj¡ce stwierdzenia.
6.1.2. Dla ka»dej niezerowej liczby całkowitej m istnieje niesko«czenie wiele D ( m ) -zbiorów
długo±ci 3 .
D. Niech n b¦dzie dowoln¡ liczb¡ naturaln¡ tak¡, »e n 2 − m > 2. Niech a b¦dzie dowolnym
dzielnikiem naturalnym liczby n 2 − m . Wtedy ab = n 2 − m , gdzie b 2 N. Przyjmujemy c := a + b + 2 n
i (na mocy 6.1.1) { a,b,c } jest D ( m )-zbiorem długo±ci 3. Poniewa» takich liczb naturalnych n jest
niesko«czenie wiele, wi¦c mamy niesko«czenie wiele D ( m )-zbiorów długo±ci 3.
Z powy»szego dowodu, zastosowanego dla a = 1, otrzymujemy:
6.1.3. Niech m b¦dzie niezerow¡ liczb¡ całkowit¡ i niech n b¦dzie dowoln¡ liczb¡ naturaln¡
tak¡, »e n 2 − m > 2 . Niech
a = 1 ,b = n 2 − m,c = ( n + 1) 2 − m.
Wtedy { a,b,c } jest D ( m ) -zbiorem długo±ci 3 . Zachodz¡ równo±ci:
ab + m = n 2 , ac + m = ( n + 1) 2 , bc + m = ( n 2 + n − m ) 2 .
6.1.4. Niech m b¦dzie niezerow¡ liczb¡ całkowit¡ i niech A b¦dzie D ( m ) -zbiorem długo±ci
wi¦kszej od 1 . Niech ponadto a b¦dzie liczb¡ naturaln¡ nale»¡c¡ do A . Istnieje wtedy niesko«-
czenie wiele D ( m ) -zbiorów długo±ci 3 , zawieraj¡cych liczb¦ a .
93
94 AndrzejNowicki,Liczbykwadratowe. 6.D(m)-zbiory
D. Skoro a 2 A , wi¦c istnieje liczba naturalna b taka, »e ab + m jest liczb¡ kwadratow¡. W
ci¡gu arytmetycznym ( an + m ) istnieje wi¦c liczba kwadratowa. Wiemy (patrz 2.5.8), »e wtedy takich
liczb kwadratowych w tym ci¡gu istnieje niesko«czenie wiele. Istnieje zatem niesko«czenie wiele liczb
naturalnych b takich, »e liczba ab + m jest kwadratowa. Ka»da taka liczba b tworzy, wspólnie z liczb¡ a ,
D ( m )-zbiór długo±ci 2, który (na mocy 6.1.1) mo»na rozszerzy¢ do D ( m )-zbioru długo±ci 3.
6.1.5. Niech m b¦dzie niezerow¡ liczb¡ całkowit¡. Niech a<b<c b¦d¡ liczbami naturalnymi
takimi, »e { a,b,c } jest D ( m ) -zbiorem. Istniej¡ wtedy liczby naturalne u,v takie, »e u>c ,
v>c oraz zbiory { a,c,u } i { b,c,v } s¡ D ( m ) -zbiorami.
D. Niech u = a + c + 2 s , v = b + c + 2 t , gdzie s,t s¡ liczbami naturalnymi spełniaj¡cymi równo±ci
ac + m = s 2 , bc + m = t 2 . Liczby u,v posiadaj¡ (na mocy 6.1.1) »¡dane własno±ci.
Zajmiemy si¦ teraz problemem dotycz¡cym istnienia D ( m )-zbioru długo±ci 4.
6.1.6. Je±li m jest liczb¡ całkowit¡ postaci 4 k +2 , to nie istnieje »aden D ( m ) -zbiór długo±ci 4 .
([BrE],[GupS],[MohR]) .
D. ([Duje]). Przypu±¢my, »e { a 1 ,a 2 ,a 3 ,a 4 } jest D ( m )-zbiorem długo±ci 4. Poniewa» kwadraty
liczb całkowitych przystaj¡ do 0 lub 1 modulo 4, wi¦c a i a j 2 lub 3 (mod 4). adana wi¦c z liczb
a 1 ,a 2 ,a 3 ,a 4 nie jest podzielna przez 4. Istniej¡ zatem dwie ró»ne liczby a i , a j takie, »e a i a j (mod 4).
Mamy wtedy sprzeczno±¢: a i a j 0 lub 1 (mod 4).
6.1.7 (Dujella 1993) . Je±li m nie jest liczb¡ postaci 4 k + 2 i nie nale»y do zbioru
S = {− 4 , − 3 , − 1 , 3 , 5 , 8 , 12 , 20 } ,
to istnieje co najmniej jeden D ( m ) -zbiór długo±ci 4 . ([Duj3],[Duje]) .
U. ([Duje]). Dowód tego twierdzenia, przedstawiony w [Duj3], podzielony jest na 6 niezale»nych
cz¦±ci, w których rozpatruje si¦ odpowiednio przypadki: m = 4 k + 3, m = 8 k + 1, m = 8 k + 5, m = 8 k ,
m = 16 k + 4, m = 16 k + 12. Przypadki te obejmuj¡ wszystkie liczby całkowite ró»ne od tych, które
s¡ postaci 4 k + 2. W ka»dym przypadku wskazany jest D ( m )-zbiór długo±ci 4. Dla przykładu, je±li
m = 4 k + 3, to
{ 1 , 9 k 2 + 8 k + 1 , 9 k 2 + 14 k + 6 , 36 k 2 + 44 k + 13 }
jest D ( m )-zbiorem długo±ci 4. Tutaj trzeba zało»y¢, »e m 6 = − 1 (tzn. k 6 = − 1), gdy» w przeciwnym
wypadku otrzymujemy liczby 1 , 2 , 1 , 5; dwie liczby s¡ równe. Podobnie post¦puje si¦ w pozostałych
przypadkach.
6.1.8 (Diofantos) . { 1 , 33 , 68 , 105 } jest D (256) -zbiorem długo±ci 4 . ([Ked1]) .
6.1.9 (Dujella 1997) . Zbiory { 1 , 33 , 105 , 320 , 18240 } i { 5 , 21 , 64 , 285 , 6720 } s¡
D (256) -zbiorami długo±ci 5 . Zbiór { 8 , 32 , 77 , 203 , 528 } jest D ( − 255) -zbiorem długo±ci 5 .
([Duj7],[Duje]) .
6.1.10 (Gibbs 2004) . { 99 , 315 , 9920 , 32768 , 44460 , 19534284 } jest D (2985984) -zbiorem
długo±ci 6 ([Gy04]310) .
F L. E. Dickson, xy + a,xz + a,yz + a all squares , [Dic2] 513-530.
R. K. Guy, Diophantine m -tuples , [Gy04] 310.
Agata Wawrzyniak, Sko«czone D ( n ) zbiory stowarzyszone z liczbami kwadratowymi , [Pmgr] 2011.
1244564274.003.png 1244564274.004.png
 
AndrzejNowicki,Liczbykwadratowe. 6.D(m)-zbiory
95
oooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo
6.2D(-1)-zbiory
oooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo
6.2.1. Przykłady D ( − 1) -zbiorów długo±ci 3 :
{ 1 , 2 , 5 } , { 1 , 2 , 145 } , { 1 , 2 , 4901 } , { 1 , 5 , 10 } , { 1 , 5 , 65 } , { 1 , 5 , 442 } , { 1 , 5 , 3026 } , { 1 , 5 , 20737 } ,
{ 2 , 5 , 13 } , { 2 , 5 , 925 } , { 2 , 5 , 18241 } , { 2 , 13 , 25 } , { 2 , 25 , 41 } , { 2 , 41 , 61 } , { 2 , 61 , 85 } , { 2 , 85 , 113 } ,
{ 5 , 10 , 29 } , { 5 , 13 , 34 } , { 5 , 29 , 58 } , { 5 , 34 , 65 } , { 5 , 58 , 97 } , { 5 , 65 , 106 } , { 5 , 65 , 4033 } , { 5 , 97 , 146 } ,
{ 10 , 17 , 53 } , { 10 , 29 , 73 } , { 10 , 53 , 109 } , { 10 , 73 , 137 } , { 10 , 109 , 185 } , { 10 , 137 , 221 } , { 10 , 185 , 281 } ,
{ 13 , 25 , 74 } , { 13 , 34 , 89 } , { 13 , 74 , 149 } , { 13 , 89 , 170 } , { 13 , 149 , 250 } , { 13 , 170 , 277 } , { 13 , 250 , 377 } ,
{ 17 , 26 , 85 } , { 17 , 53 , 130 } , { 17 , 85 , 178 } , { 17 , 130 , 241 } , { 17 , 178 , 305 } , { 17 , 241 , 386 } , { 17 , 305 , 466 } .
6.2.2. Istnieje niesko«czenie wiele D ( − 1) -zbiorów długo±ci 3 .
D. ([Kw] 4/2002 s.56). Równanie Pella u 2 − 2 v 2 = 1 ma niesko«czenie wiele rozwi¡za« naturalnych
(patrz [N14]). Je±li ( u,v ) jest dowolnym jego rozwi¡zaniem naturalnym, to { 1 , 2 ,v 2 + 1 } jest D ( − 1)-
zbiorem długo±ci 3.
Korzystaj¡c z pewnych równa« typu Pella mo»na udowodni¢:
6.2.3. Dla ka»dej liczby naturalnej a , układ równa«
xy − 1 = a 2 , yz − 1 = u 2 , zx − 1 = v 2
ma niesko«czenie wiele rozwi¡za« naturalnych ( x,y,z,u,v ) . ([Kw]4/2002s.6,[N14]) .
6.2.4. Nie wiadomo czy istnieje D ( − 1) -zbiór długo±ci 4 . ([Duje]) .
6.2.5 (Dujella, Filipin, Fuchs 2007) . Je±li istnieje co najmniej jeden D ( − 1) -zbiór długo±ci 4 ,
to takich zbiorów istnieje tylko sko«czenie wiele. ([Duje]) .
6.2.6 (Dujella, Fuchs 2005) . Nie istnieje »aden D ( − 1) -zbiór długo±ci 5 . ([Duje]) .
F A. Dujella, A. Filipin, C. Fuchs, Eective solution of the D ( − 1) -quadruple conjecture , [ActA]
128(2007) 319-338.
A. Dujella, C. Fuchs, Complete solution of a problem of Diophantus and Euler , [Jlms] 71(2005)
33-52.
A. Filipin, Non-extendibility of D ( − 1) -triples of the form { 1 , 10 ,c } , [IntJ] 35(2005) 2217-2226.
Y. Fujita, The extensibility of D ( − 1) -triples { 1 ,b,c } , [PubD] 70(2007) 103-117.
K. S. Kedlaya, Solving constrained Pell equations , [MatC] 833-842.
O. Kihel, On the extendibility of the P − 1 -set { 1 , 2 , 5 } , [FQ] 38(2000) 464-466.
F. S. Abu Muriefah and A. Al-Rashed, On the exendibility of the Diophantine triple { 1 , 5 ,c } , [IntJ]
33(2004) 1737-1746.
oooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo
6.3D(1)-zbiory
oooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo
6.3.1. Je±li { x,y,z } jest D (1) -zbiorem, to 8 | xyz . ([Kw]2/200223) .
6.3.2 (Fermat) . { 1 , 3 , 8 , 120 } jest D (1) -zbiorem długo±ci 4 :
1 · 3 + 1 = 2 2 , 1 · 120 + 1 = 11 2 ,
1 · 8 + 1 = 3 2 , 3 · 120 + 1 = 19 2 ,
3 · 8 + 1 = 5 2 , 8 · 120 + 1 = 31 2 .
([Ked1],[Br1],[Duje]) .
 

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika:

Zgłoś jeśli naruszono regulamin