PROJEKTOWANIE BADAŃ i METODY ANALIZY STATYSTYCZNEJ I
Wielowymiarowe rozkłady zmiennych losowych cz. I i II
Zad. 1
Gęstość dwuwymiarowej zmiennej losowej dana jest wzorem
a) Wyznaczyć stałą a.
b) Wyznaczyć rozkłady brzegowe.
c) Sprawdzić, czy zmienne X i Y są niezależne.
d) Wyznaczyć rozkład warunkowy zmiennej losowej X przy warunku .
e) Obliczyć .
Zad. 2
b) Sprawdzić, czy zmienne X i Y są niezależne.
c) Obliczyć .
Zad. 3*
Zad. 4
Wyznaczyć dystrybuantę dwuwymiarowej zmiennej losowej , której gęstość dana jest wzorem
Zad. 5
a) Wyznaczyć gęstości brzegowe.
b) Wyznaczyć gęstości warunkowe.
c) Wyznaczyć wektor wartości oczekiwanych oraz macierz kowariancji.
Zad. 6
Wiedząc, że wektor losowy ma rozkład normalny , znaleźć rozkład .
Zad. 7
Zad. 8
Dany jest wektor losowy o rozkładzie normalnym , gdzie .
a) Czy zmienne losowe i są niezależne?
b) Czy niezależne są i ?
Zad. 9
Dany jest wektor losowy o rozkładzie normalnym z parametrami
,
a) Wyznaczyć rozkład wektora .
b) Wyznaczyć rozkład warunkowy , gdzie , .
c) Wyznaczyć rozkład warunkowy , gdzie , .
d) Wyznaczyć rozkład wektora , gdzie , .
Zad. 10
c) Wyznaczyć rozkład wektora , gdzie .
Zad. 11
W badaniu miesięcznych wydatków (w zł.) na energię (zmienna ), telefon (zmienna ), gaz (zmienna ) dla próby 30 rodzin otrzymano, że średnie wydatki w złotych wynoszą odpowiednio
, , ,
macierz kowariancji
Wiedząc, że rozkład wektora losowego jest normalny, czy można przypuszczać, że te wydatki wynoszą średnio ? Przyjąć poziom istotności .
Zad. 12
Zbadano pot 20 kobiet pod względem trzech składowych: - wskaźnik potu, - zawartość sodu, - zawartość potasu. Otrzymano następujące wyniki:
, .
Wiedząc, że rozkład wektora losowego jest normalny , zweryfikować hipotezę wobec ? Przyjąć poziom istotności .
Zad. 13
Zbadano losowo wybranych 30 studentów matematyki i 20 studentów fizyki pod względem ocen z języka angielskiego (zmienna ) i niemieckiego (zmienna ). Otrzymano następujące wyniki:
Studenci matematyki:
, , .
Studenci fizyki:
Zakładając normalność wektora losowego sprawdzić, czy średnie ocen uzyskanych przez studentów obu kierunków są takie same. Przyjąć poziom istotności .
Zad. 14
W badaniu struktury miesięcznych wydatków studentów i studentów uwzględniono wydatki na żywność (zmienna ), wydatki na książki (zmienna ) i wydatki na ubrania (zmienna ). Dla losowo wybranych 30 studentek i 20 studentów otrzymano następujące średnie w zł.:
Studentki:
Studenci:
Odwrotność uśrednionej macierzy kowariancji dla tej próby wyniosła:
.
Wiedząc, że rozkład wektora losowego jest normalny, czy można stwierdzić, że struktury wydatków studentek i studentów są takie same.
Zad. 15
Zweryfikować hipotezę, czy macierz wariancji – kowariancji w populacji generalnej o dwuwymiarowym rozkładzie normalnym jest równa , jeśli dla 100 elementowej próby pobranej z tej populacji obciążona macierz wariancji – kowariancji ma postać . Przyjąć poziom istotności .
Zad. 16*
Zbadano losowo wybranych 20 studentów ze względu na wzrost (zmienna ) i wagę (zmienna ), otrzymano odpowiednio następujące wyniki:
172 89
160 54
166 83
158 71
187 82
160 83
163 108
177 82
153 85
159 85
169 75
168 80
171 97
188 85
171 69
174 79
168 77
177 85
183 78
172 82
Wiedząc, że rozkład wektora losowego jest normalny, czy można przypuszczać, że te średnie wynoszą odpowiednio ? Przyjąć poziom istotności .
Zad. 17*
Zbadano losowo wybranych pracowników z wykształceniem wyższym, z dwóch firm F1 i F2 (15 pracowników z pierwszej firmy i 10 z drugiej), pod względem wynagrodzenia (zmienna ), średniej ocen na świadectwie maturalnym (zmienna ) oraz średniej ocen na studiach (zmienna ). Otrzymano następujące wyniki odpowiednio dla firmy F1 i firmy F2:
1531.09 3.20 3.35 5664.44 3.39 4.89
2726.67 3.53 4.38 4601.96 5.15 4.16
5228.50 3.75 3.85 4927.52 3.94 5.00
1763.96 3.98 5.00 4350.83 3.71 3.31
3502.66 4.92 5.00 2600.26 3.42 4.68
2706.50 3.31 4.10 4710.56 3.03 3.94
5525.26 3.68 3.83 3197.18 4.93 4.66
5920.71 3.88 5 .00 4412.57 4.17 4.31
3604.19 4.82 4.39 4324.51 3.61 4.27
5942.44 3.74 4.23 2708.78 4.57 5.00
5481.81 4.48 5.00
2499.85 3.18 4.38
3275.49 4.48 4.37
3724.04 4.04 5.00
3818.33 4.99 3.63
Wiedząc, że rozkład wektora losowego jest normalny, zweryfikować hipotezę zerową o równości rozważanych wektorów wartości oczekiwanych w obu populacjach. Przyjąć poziom istotności .
5
chomikSGHowy