Wydział Budownictwa i Inżynierii Środowiska
Uniwersytet Technologiczno - Przyrodniczy
Katedra Budownictwa Drogowego
Ćwiczenie projektowe z przedmiotu
TEORIA SPRĘŻYSTOŚCI I PLASTYCZNOŚCI
Ćwiczenie projektowe XI.3_R
z teorii sprężystości i plastyczności
Temat: Czyste skręcanie pręta pryzmatycznego
Wykonał:
Michał Wiśniewski
kierunek: budownictwo
studia magisterskie
specjalność: TOB
rok I, semestr I, grupa 5
rok akad. 2012/2013
1. Definicje
Skręcanie - w wytrzymałości materiałów stan obciążenia materiału, w którym na materiał działa moment, nazwany momentem skręcającym, działający w płaszczyźnie przekroju poprzecznego materiału. Powoduje on występowanie naprężeń ścinających w płaszczyźnie równoległej do płaszczyzny działania momentu. Skręcanie występuje w prętach.Wyróżniamy 2 podstawowe przypadki skręcania:
Rys 1. Skręcanie czyste
Skręcanie czyste - w którym do ścianek poprzecznych jednorodnego i izotropowego pręta pryzmatycznego przyłożone jest obciążenie o gęstości q = [0;qvy;qvz], które redukuje się do dwóch przeciwnie skierowanych momentów działających w płaszczyźnie ścianek poprzecznych. Rozwiązanie tego przypadku jest możliwe tylko w przypadku, gdy uda nam się znaleźć funkcję spaczenia ф, charakterystyczną dla przekroju pręta, która jest rozwiązaniem układu następujących równań (rozwiązaniem zagadnienia Neumanna):
δ2ϕδy2+δ2ϕδz2=0
δϕδy-zm+δϕδy+yn=0
gdzie m i n są współrzędnymi wektora normalnego do pobocznicy pręta.
Rys 2. Skręcanie proste
Skręcanie proste pręta, które różni się od skręcania "czystego" tym, że obciążenie zastępujemy dwójką przeciwnie skierowanych, równych, co do wartości skupionych momentów skręcających. Analityczne rozwiązanie tego przypadku jest praktycznie niemożliwe, dlatego stosujemy zgodnie z zasadą de Saint-Venanta rozwiązanie zagadnienia czystego skręcania.
2. Naprężenia i odkształcenia
Ze skręcaniem pręta pryzmatycznego mamy do czynienia wówczas, gdy układ sił zewnętrznych po jednej stronie jego przekroju poprzecznego redukuje się do momentu, którego płaszczyzna działania jest styczna do przekroju, a wektor jest równoległy do osi pręta. Moment ten Ms nazywamy momentem skręcającym. Zasadniczym problem jest wyznaczenie macierzy naprężeń i odkształceń w dowolnym punkcie pręta. Zagadnienie skręcania prętówpryzmatycznych daje się rozwiązać prostymi metodami wytrzymałości materiałów tylko w przypadku prętów o kołowo symetrycznym przekroju poprzecznym. Rozważmy wiec, pokazany na rys. 1 pręt pryzmatyczny o kołowym przekroju poprzecznym, którego pole A, określony w układzie osi (X,Y,Z), w którym oś X jest osią pręta, a dwie pozostałe są osiami głównymi centralnymi jego przekroju poprzecznego. Materiał pręta jest liniowo sprężysty o stałych materiałowych E oraz ν.
Rys. 3. Pręt pryzmatyczny o kołowym przekroju poprzecznym
Postawione zadanie rozwiążemy postępując według kilkakrotnie już stosowanego algorytmu. Po dokonaniu myślowego przekroju pręta na dwie części, odrzuceniu części II i przyłożeniu do części I układu sił wewnętrznych rozważymy trzy komplety równań tzn. równania równowagi, geometryczne i fizyczne. Równania równowagi wynikające z twierdzenia o równoważności odpowiednich układu sił wewnętrznych i zewnętrznych w tym przypadku przyjmą postać:
AσxdA=0 AτxydA=0 AτxzdA=0 A(-τxyz+τxzy)dA=Ms(x) Aσxz dA=0 A-σxy dA=0
(1)
Równania geometryczne sformułujemy w oparciu o przypuszczony obraz deformacji pręta. Przyjęte założenia o własnościach materiału pręta, małych przemieszczeniach i zasadapłaskich przekrojów pozwalają przyjąć obraz jego deformacji po obciążeniu pokazany na rys. 2. Narysowana na powierzchni zewnętrznej pręta siatka prostopadłych do siebie linii
Rys.4. Obraz deformacji pręta po obciążeniu
po przyłożeniu momentu skręcającego deformuje się tak, że linie równoległe do osi pręta przechodzą w linie śrubowe a linie prostopadłe do osi pręta pozostają do niego prostopadłe. Można więc opisać mechanizm deformacji jako obroty wokół osi pręta płaskich kołowych. nie deformujących się przekrojów przy nie zmieniających się między nimi odległościach, zatem odkształcenia liniowe włókien równoległych do osi układu odniesienia są równe zeru:
ϵx=ϵy=ϵz=0,
oraz γyz=0.
Kąt o jaki obracają się poszczególne przekroje nazywać będziemy kątem skręcenia i oznaczymy go ϕ (x). Dla dalszej analizy deformacji pręta wytnijmy z niego element o dowolnie małej długości dx (rys. 2). Przyrost kąta skręcenia na tym odcinku oznaczmy przez dϕ(x).Z rys. 2 odczytujemy, że na pobocznicy zachodzą zależności:
BB'=dx γr i BB'=dφxr zatem γr=rdφ(x)dx
gdzie: γr – odkształcenie kątowe na pobocznicy pręta. Jeśli dalej przyjmiemy, że zależności zauważone na pobocznicy spełnione są również wewnątrz pręta to możemy napisać:
γ=ρdφ(x)dx
gdzie: γ – odkształcenie kątowe w punkcie o promieniu wodzącym ρ dwóch prostopadłych do siebie włókien, z których jedno jest równoległe do osi pręta, a drugie prostopadłe do promienia wodzącego. Po wprowadzeniu pojęcia jednostkowego kąta skręcania określonego wzorem:
γ=ρ∙θ(x) W miejsce zależności γ=ρdφ(x)dx, dostajemy: γ=ρ∙θ(x)
Z równań fizycznych Hooke’a otrzymujemy:
σx=E1+νεx+ν1-2∙νεx+εy+εz→σx=0
σy=E1+νεy+ν1-2∙νεx+εy+εz→σy=0
σz=E1+νεz+ν1-2∙νεx+εy+εz→σz=0
τyz=G∙γyz→τyz=0 oraz
τ=G∙γ=G∙ρ∙θ(x)
Rys.5.
Kierunek wektora tych ostatnich naprężeń stycznychτ, jest prostopadły do promienia wodzącego punktu ρ, a jego zwrot jest taki, że kręci względem środka tak samo jak obciążający przekrój moment skręcający. Jak widać z rys. 3 naprężenia styczne w rozważanym punkcie, równoległe do osi układu odniesienia, można wyrazić poprzez naprężenie styczne τ wzorami:
τxy=-τ∙sinα oraz τxz=-τ∙cosα, a po podstawieniu do równania γ=ρ∙θ(x), przyjmując postać:
τxy=-G∙θxz i τxz=G∙θxy (2)
Wracamy do równań równoważności (1). Pierwsze, piąte i szóste z uwagi na zerowania się naprężeń normalnych są spełnione tożsamościowo.
Równanie drugie:
AτxydA=A-GθxzdA=-Gθ(x)AzdA=0,
Jest spełnione, bo całka to moment statyczny względem osi centralnej Y. Z analogicznego powodu spełnione jest trzecie równanie równoważności:
AτxzdA=AGθxydA=-Gθ(x)AzdA=0.
Przejdźmy do równania czwartego:
A-τxyz+τxzydA=Msx
Podstawienie pod całkę zależności (2) i kolejne przekształcenia dają:
AGθxz2+Gθxy2dA=Msx→GθxAz2+y2dA=Msx
θx=Ms(x)GJ0 (2)
gdzie: J0=Ay2+z2dA=Aρ2dA ,to biegunowy moment bezwładności przekroju poprzecznego względem jego środka ciężkości, a iloczyn G∙J0 nazywamy sztywnością na skręcanie.
Wstawiając (2) do wzoru τ=G∙γ=G∙ρ∙θ(x) otrzymujemy wzór określający rozkład naprężeń stycznych w przekroju poprzecznym skręcanego pręta o przekroju kołowo – symetrycznym.
τ=Ms(x)J0ρ(3)
Rys. 6.
2. Analiza stanu naprężenia i odkształcenia
W rozważanym przypadku na płaszczyznach prostopadłych do os...
justynkalp